专题09 奇偶性应用归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题9 奇偶性应用归类 目录 【题型一】奇偶性概念辨析 2 【题型二】常见函数奇偶性判断 3 【题型三】奇偶函数与图像 5 【题型四】抽象函数奇偶性判断 6 【题型五】“平移”函数奇偶性 8 【题型六】利用奇偶性求解析式 9 【题型七】奇偶函数混合型求解析式 10 【题型八】利用奇偶性求函数值 12 【题型九】利用奇偶性求和 13 【题型十】利用奇偶性解方程、不等式 14 【题型十一】不等式恒成立求参 17 【题型十二】利用奇偶性求抽象函数恒成立参数 18 【题型十三】利用奇偶性求最值与范围 20 【题型十四】利用奇偶性质推导周期 21 培优第一阶——基础过关练 24 培优第二阶——能力提升练 28 培优第三阶——培优拔尖练 33 综述： 奇偶性 (1)奇偶函数的性质 ①偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反； ②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同； ③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论 f(0)＝0 ； (2)奇偶性的判定 ①“奇±奇”是奇 ，“偶±偶”是 偶 ，“奇×/÷奇”是 偶 ，“偶×/÷偶”是 偶 ，“奇×/÷偶”是 奇 ； ②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； ③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数． (2)常见奇函数 ①f(x)＝ ②f(x)＝loga ③f(x)＝g(x)－g(－x) ④f(x)＝loga(＋x) 当然，还有f(x)＝sin x，f(x)＝tan x等等； 奇偶性（对称型）与周期 周期性：①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b. ②常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 【题型一】奇偶性概念辨析 【典例分析】 函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】C 【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可. 【详解】令，则,且， 既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误； 令，则,且， 是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误； 故选：C 【变式训练】 1.函数，，（    ） A．是奇函数不是偶函数 B．是偶函数不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D 【分析】结合函数的奇偶性确定正确答案. 【详解】当时，，函数定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数. 故选：D 2.下面四个结论中，正确的个数是（    ） ①奇函数的图象关于原点对称；    ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于轴对称；    ④偶函数的图象一定与轴相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据奇偶函数图像的特点即可判断①③，举出反例即可判断②④. 【详解】解：对于①，奇函数的图象关于原点对称，故①正确； 对于②，例如为奇函数，但其图象不过原点，故②错误； 对于③，偶函数的图象关于轴对称，故③正确； 对于④，例如为偶函数，但其图象与轴不相交，故④错误． 故选：B. 3.对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】如果是偶函数，根据偶函数的定义，可证是偶函数，而的图象关于轴对称，可举例说明不一定为偶函数，结合充分必要的定义，即可得出结论. 【详解】函数是偶函数，则， 此时，， 因此的图象关于轴对称， 但当的图象关于轴对称时， 未必推出是偶函数， 如，的图象也关于轴对称， 但并非偶函数， 故“的图象关于轴对称” 是“是偶函数”的必要不充分条件． 故选：B. 【题型二】常见函数奇偶性判断 【典例分析】 ．符号表示不超过x的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（    ） ①函数的定义域是R，值域为[0,1)； ②方程有无数个解； ③函数是奇函数； ④函数是增函数. A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性的定义进行判断. 【详解】对于①：函数的定义域是，但，其值域为，故正确； 对于②：，可得，则，，都是方程的解，故正确； 对于③：函数的定义域是，而，如，， 故函数不是奇函数，故错误； 对于④：由②可知，，，当时，函数函数的值都是，所以不是增函数，故错误， 故选：A 【变式训练】 1..若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　) A．1 B．2 C． D．－ 【答案】A 【分析】由于函数为奇函数，则，化简后可求得的值.