4.2.1 等差数列的概念 （精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.1 等差数列的概念 一、等差数列的定义 1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列） 【注意】 （1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序； ②这两项必须相邻． （3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 等差数列通项公式的推导过程： 如果等差数列的首项是，公差是，根据等差数列的定义得到： ，，，… 所以， ， ， …… 由此归纳出等差数列的通项公式为． 2、等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项． 这三个数满足的关系式是A＝. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 四、等差数列的性质 1、若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则. 特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，. 2、对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 3、若是公差为d的等差数列，则 ①（c为任一常数）是公差为d的等差数列； ②（c为任一常数）是公差为cd的等差数列； ③（k为常数，k∈N*）是公差为2d的等差数列． 4、若，分别是公差为d1，d2的等差数列， 则数列 (p，q是常数)是公差为的等差数列． 5、通项公式的推广： (n，m∈N*)． 五、设元法巧解等差数列中常见的设元技巧 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为。 六、等差数列的实际应用 1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息． 若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。 2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题 题型一 等差数列的判断 【例1】下列数列中，不成等差数列的是（ ）． A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001 C．a，a，a，a D．，，， 【答案】B 【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3， 所以此数列是等差数列，所以A不合题意， 对于B，因为，，即， 所以此数列不是等差数，所以B符合题意， 对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0， 所以此数列是等差数列，所以C不合题意， 对于D，数列，，，可表示为，，，， 因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1， 所以此数列是等差数列，所以D不合题意，故选：B 【变式1-1】以下不能构成等差数列的是（ ） A．2，2，2，2 B．，，， C．，，， D．，， 【答案】B 【解析】A是公差为0的等差数列；B不是等差数列； C是公差为a的等差数列；D是公差为2的等差数列.故选：B 【变式1-2】已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（ ）． ① ② ③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】设的公差为， 则，是等差数列， ，是常数列，也是等差数列， 若，则不是等差数列，故选：C． 【变式1-3】如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5，则下列说法正确的是（ ） A．该数列一定是等差数列 B．该数列一定不是等差数列 C．该数列不一定是等差数列 D．以上结论都不正确 【答案】C 【解析】如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5， 该数列可能是等差数列､周期数列或其他数列， 所以该数列不一定是等差数列.故选：C. 【变式1-4】“a，b，c成等差数列”是“”的（ ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若“a，b，c成等差数列”，则“”， 即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件； 若“”，则“a，b，c成等差数列”， 即“a