专题17 圆锥曲线中与向量有关的问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题17 圆锥曲线中与向量有关的问题 一、真题剖析 【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以抛物线与向量为载体，考查向量在圆锥曲线中的应用。 【必备知识】本题考查向量与圆锥曲线的结合的问题。 【能力素养】本题考查逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题与向量结合主要考查了如何运用向量研究圆锥曲线的问题，主要方法就是转化为坐标的运算。 【解析】(1)：设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. (2)，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 二、题型选讲 题型一 由向量关系求圆锥曲线的离心率 例1、(2022·江苏如皋期初考试)(多选题)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则( ) A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.∵椭圆的上顶点为，且.∴，∴，∴.∴.不妨设点在第一象限，设，.∴，. ∴.在中，由余弦定理可得：∴.两边同除以，得，解得：.∴,.故答案选BC. 变式1、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、（在右侧），若，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先由，得出，再由双曲线的定义，求出，，根据直线斜率得到，由余弦定理列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由得， 又由题意可得，为双曲线左支上的点，为双曲线右支上的点， 根据双曲线的定义可得，，， 所以，因此， 因为直线的斜率为，所以， 又， 所以， 即，所以，解得或（舍，双曲线的离心率大于1）.故答案为：. 变式2、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)已知双曲线的中心为O，圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点．若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量关系得，过点M作，则由点到渐近线距离得，求出表达式，从而构造关系，即可求得离心率． 【详解】如图，由已知，得．由圆， 得为双曲线C右顶点．过点M作，垂足为N， 则点到渐近线的距离．因为圆M的半径为b， 所以．由，可得． 又因为．所以，整理得， 所以，即．故双曲线的离心率为． 故选：C 题型二 由向量关系求圆锥曲线的综合性问题 例2、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，＝3，·＝3． (1)求椭圆C的方程； (2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标． 【解析】 (1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)． 因为＝3，·＝3， 所以…………………………………………………………………2分 解得从而b2＝a2－c2＝3． 所以椭圆C的方程．…………………………………………………………4分 (2)设直线l的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 因为直线l不过点A，因此－2k＋m≠0． 由得(． 则，x1x2＝．…………………………………………………………6分 所以k1＋k2＝＋＝ ＝ ＝＝． 由k(k1＋k2)＝1，可得3k＝m－2k，即m＝5k．……………………………………………10分 故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5，0)．……………………………………………12分 变式1、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知在平面直角坐标系中，点，设动点到轴的距离为，且，记动点的轨迹为曲线. 求曲线的方程： 设动直线与交于，两点，为上不同于，的点，若直线，分别与轴相交于，两点，且，证明：动直线恒过定点. 【答案】；证明见解析. 【解析】 【分析】根据题意可判断动点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，进而写出方程即可； 设，，确定直线，的斜率存在，进而列出直线方程并确定，两点，利用写出相应方程，求得，与直线方程联立即可求的结果. 【详解】解：，且动点的纵坐标非负， 动点到