微专题 多面体的欧拉定理及其相关题型 期中复习讲义-2022-2023学年高中数学沪教版（2020）必修第三册

微专题 多面体的欧拉定理及其相关题型 【学生版】 学习笔记 知识梳理 多面体的世界是丰富多彩的，但会遵循一些非常简单的基本规律，多面体的欧拉定理就描述了这样一个规律； 1、简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体， 假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体， 那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面； 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体； 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2、五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体 顶点数 面数[ 棱数 正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30 3、欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：； 4、欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数； （1）简单多面体的欧拉示性数； （2）多面体所有面的内角总和公式：① 或②；典型例题 例1、多面体欧拉定理：，其中是顶点数，是面数，为棱数，并且多面体所有面的内角总和为，已知某正多面体所有面的内角总和为，且各面都为正三角形，则该多面体的顶点数=___________，棱数=___________； 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了多面体的欧拉定理及其特殊正几面体的点、棱、面的几何特征；学习笔记 例2、任意一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体那么它就会连续(不破裂)变形，最后可变为一个球面.像这样，表面连续变形，可变为球面的多面体称为简单多面体.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数面数棱数；正多面体的每个面都是正边形，顶点数是，棱数为，面数是，每个顶点连的棱数是，则下面对于正多面体的描述正确的是___________. ①在正十二面体中，满足等式：； ②在正多面体中，满足等式：； ③在三维空间中，正多面体有且仅有4种； ④以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的体积之比为； ⑤以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的表面积之比为； 【提示】； 【提示】； 【解析】 例3、多面体欧拉定理是指对于简单多面体