第四章 数列 章末复习及综合测评(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

章末复习方案 类型一　等差(比)数列的基本运算 1．数列的基本运算以选择、填空题形式出现居多，但也可作为解答题的第一问进行考查，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小． 2．通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 【真题1】 (1)(2021·北京){an}和{bn}是两个等差数列，其中(1≤k≤5)为常值，a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝(　　) A．64 B．128 C．256 D．512 (2)(2019·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 解析　(1)由已知条件可得＝，则b5＝＝＝64，因此b3＝＝＝128.故选B项． (2)由题意可知解得 所以an＝2n－5，Sn＝n2－4n.故选A项． 答案　(1)B　(2)A 【真题2】 (1)(2021·1月浙江)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若a1＝1，a4＝64，则q＝________，S3＝________. (2)(2020·全国Ⅱ改编)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝________. 解析　(1)因为q3＝＝64，所以q＝4，S3＝＝21. (2)设等比数列的公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24可得⇒所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝＝2n－1，因此＝＝2－21－n. 答案　(1)4　21　(2)2－21－n 类型二　等差、等比数列的判断 1．判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列． 2．通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 【真题3】 已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解析　(1)由条件可得an＋1＝an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 【真题4】 (2021·全国乙)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 解析　(1)证明：由＋＝2得Sn＝，且bn≠0，bn≠，取n＝1，由S1＝b1得b1＝，因为bn为数列{Sn}的前n项积，所以··…·＝bn，所以··…·＝bn＋1，所以＝，因为bn＋1≠0，所以＝，即bn＋1－bn＝，其中n∈N*，所以数列{bn}是以b1＝为首项，以d＝为公差的等差数列． (2)由(1)可得，数列{bn}是以b1＝为首项，以d＝为公差的等差数列， 所以bn＝＋(n－1)×＝1＋，Sn＝＝. 当n＝1时，a1＝S1＝； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，显然对于n＝1不成立． 所以an＝ 【真题5】 (2021·全国甲)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解析　选①②作条件证明③： 设＝an＋b(a>0)，则Sn＝(an＋b)2， 当n＝1时，a1＝S1＝(a＋b)2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋b)2－(an－a＋b)2＝a(2an－a＋2b)． 因为{an}也是等差数列，所以(a＋b)2＝a(2a－a＋2b)，解得b＝0， 所以an＝a2(2n－1)，所以a2＝3a1. 选①③作条件证明②： 因为a2＝3a1，{an}是等差数列，所以公差d＝a2－a1＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1，即＝n， 因为－＝(n＋1)－n＝， 所以{}是等差数列． 选②③作条件证明①： 设＝an＋b(a>0)，则Sn＝(an＋b)2， 当n＝1时，a1＝S1＝(a＋b)2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋b)2－(an－a＋b)2＝a(2an－a＋2b)． 因为a2＝3a1， 所以a(3a＋2b)＝3(a＋b)2，解得b＝0或b＝－. 当b