第五章 一元函数的导数及其应用 章末复习及综合测评(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

章末复习方案 类型一　导数几何意义的应用 1．利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一种是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率，代入直线方程即可；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，需要先根据条件求切点坐标． 2．导数的几何意义，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 【真题1】 (1)(2021·全国甲)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________. (2)(2020·全国Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________. 解析　(1)由题意可知，当x＝－1时，y＝－3，故点(－1，－3)在曲线上．求导可得y′＝＝，所以y′|x＝－1＝5.故切线方程为5x－y＋2＝0. (2)设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝ln x＋x＋1，所以y′＝＋1，所以切线的斜率为＋1＝2，解得x0＝1.所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1,2)，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案　(1)5x－y＋2＝0　(2)2x－y＝0 类型二　函数的单调性 1．函数的单调性是研究函数最基本、最重要的性质，主要包括求单调区间和已知函数单调性求参数范围两类问题． 2．研究函数的单调性，可以提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 【真题2】 (2020·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝2ln x＋1. (1)若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围； (2)设a>0时，讨论函数g(x)＝的单调性． 解析　(1)设h(x)＝f(x)－2x－c，则h(x)＝2ln x－2x＋1－c，其定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝－2. 当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0.所以h(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．从而当x＝1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)＝－1－c.故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c.所以c的取值范围为[－1，＋∞)． (2)由题意可得g(x)＝＝，x∈(0，a)∪(a，＋∞)，所以g′(x)＝＝，取c＝－1得h(x)＝2ln x－2x＋2，h(1)＝0，则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0，即1－x＋ln x<0.故当x∈(0，a)∪(a，＋∞)时，1－＋ln＜0，从而g′(x)＜0.所以g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)上单调递减，没有单调递增区间． 类型三　函数的极值、最值 1．利用导函数可以研究函数的极值、最值问题，进而解决和函数相关的恒成立、函数零点等问题． 2．函数的极值、最值问题的研究，可提升学生的逻辑推理、数学运算素养． 【真题3】 (2021·北京)已知函数f(x)＝. (1)若a＝0，求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值． 解析　因为f(x)＝，所以x2＋a≠0，f′(x)＝＝. (1)若a＝0，则f′(1)＝－4，f(1)＝1， 代入y－f(1)＝f′(1)(x－1)，得4x＋y－5＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为4x＋y－5＝0. (2)由函数f(x)在x＝－1处取得极值可知f′(－1)＝0，即＝0得a＝4. 此时f(x)＝， 所以f′(x)＝， 当x∈(－∞，－1)∪(4，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)； 当x∈(－1,4)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－1,4)． 又当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→0， 所以f(x)的最大值为f(－1)＝1，f(x)的最小值为f(4)＝－. 【真题4】 已知函数f(x)＝－x＋aln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：<a－2. 解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②若a>2，则令f′(x)＝0，得x＝或x＝.当x∈∪时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.所以函数f(x)在，上单调递减，在上单调递增． (2)证明：由(1)知，当且仅当a>2时f(x)存在两个极值点．因为f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1.若设x1<x2，则x2>1.因为＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以<a－2等价于－x2＋2ln x2<0.设函数g(x)＝－x＋2ln x．由(1)知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递