5.2.1&5.2.2 基本初等函数的导数&导数的四则运算法则(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

.5.2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 5．2.2　导数的四则运算法则 [学习目标] 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数(重点、易混点)． 要点一　几个常用函数的导数 (1)f(x)＝c(常数)，则f′(x)＝0； (2)f(x)＝x，则f′(x)＝1； (3)f(x)＝x2，则f′(x)＝2x； (4)f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2； (5)f(x)＝，则f′(x)＝－； (6)f(x)＝，则f′(x)＝. 要点二　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln_a(a＞0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝(a＞0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 要点三　导数的运算法则 一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的导数有如下法则： (1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)积的导数 ①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ②[cf(x)]′＝cf′(x)； (3)商的导数 ′＝(g(x)≠0)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若f(x)＝0，则f′(x)＝0.(　　) (2)若F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)·g′(x)．(　　) (3)若f(x)＝ln x，则f′(e)＝1.(　　) (4)若f(x)＝x3＋2x，那么f(x)在x0处的切线斜率最小时x0＝0.(　　) 解析　(1)正确．常数函数的导数等于0. (2)错误．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)错误．当f(x)＝ln x时，f′(x)＝，所以f′(e)＝≠1. (4)正确．由f(x)＝x3＋2x，得f′(x)＝3x2＋2，当x＝0时，k＝f′(x)min＝2. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 类型一　利用导数公式求函数的导数 规律总结 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． (3)要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别． 【例题1】 求下列函数的导数． (1)y＝cos ；　　　　 (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝lg x； (5)y＝5x; (6)y＝cos. 解析　(1)因为y＝cos ＝，所以y′＝0. (2)因为y＝＝x－5，所以y′＝－5x－6. (3)因为y＝＝＝x，所以y′＝x. (4)因为y＝lg x，所以y′＝. (5)因为y＝5x，所以y′＝5xln 5. (6)因为y＝cos＝sin x，所以y′＝cos x. 【变式1】 求下列函数的导数． (1)y＝x； (2)y＝(x＞0)； (3)y＝sin(π－x)． 解析　(1)因为y＝x＝x，所以y′＝(x)′＝x＝. (2)因为y＝＝(x＞0)，所以y′＝()′＝(x>0)． (3)因为y＝sin(π－x)＝sin x，所以y′＝cos x. 类型二　利用导数的运算法则求导数 规律总结 (1)理解并掌握求导法则和公式的结构规律，熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提． (2)进行求导运算时，要善于分析函数解析式的结构特点，必要时应先对解析式进行恒等变形，化简解析式，再求导． 【例题2】 求下列函数的导数． (1)y＝x3＋sin x； (2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝. 解析　(1)y′＝(x3＋sin x)′＝(x3)′＋(sin x)′＝3x2＋cos x. (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝(3x2)′＋(xcos x)′＝3×2x＋x′cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x. (3)y′＝′ ＝ ＝－. 【变式2】 求下列函数的导数． (1)y＝－sin； (2)y＝； (3)y＝xlog3x； (4)y＝xln. 解析　(1)因为y＝－sin ＝sin x，所以y′＝′＝cos x. (2)y′＝ ＝＝－. (3)y′＝x′log3x＋x(log3x)′＝log3x＋x·＝log3x＋. (4)因为y＝x·ln x＝xln