5.1 第2课时 导数的几何意义(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　导数的几何意义 [学习目标] 1.通过函数图象直观理解导数的几何意义.2.了解导函数的概念.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点).4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程(易混点)． 要点一　导数的几何意义 1．如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．割线P0P的斜率k＝，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)．这就是导数的几何意义． 2．切线的斜率与割线的斜率的关系 从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.切线是割线的极限位置． 思考：曲线的切线与曲线的交点是否一定唯一？ 提示 不一定．曲线的切线不一定与曲线只有一个交点，可以有多个甚至无穷多个交点． 要点二　导函数 1．定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 2．f′(x0)与f′(x)的区别与联系 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点处的导数组成的一个新函数，是函数 思考：f′(x0)＞0和f′(x0)＜0反映了怎样的意义？ 提示 f′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f′(x0)．(　　) (2)f′(x1)＞f′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处的瞬时变化率大．(　　) (3)f′(x0)就是导函数y＝f′(x)在x0处的函数值．(　　) (4)若f′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处的切线不存在．(　　) 解析　(1)正确．根据导数的几何意义知正确． (2)错误．若|f(x0)|越大，则瞬时变化率越大，故错误． (3)正确．根据导函数的定义知正确． (4)错误．若f′(x0)＝0说明曲线在x＝x0处的切线平行于x轴，不能说不存在． 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 类型一　求曲线的切线方程 规律总结 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 【例题1】 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程． 解析　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，所以切点P(1,1)．所以y′|x＝1＝ ＝ ＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，所以k＝y′|x＝1＝3.所以曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)， 则y′|x＝x0＝ ＝3x， 由题意可知kPQ＝y′|x＝x0，即＝3x， 又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－.①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0；②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0. 【变式1】 求函数y＝在x＝2处的切线方程． 解析　由题意得Δy＝－＝－1＝－，所以＝－，所以k＝ ＝ ＝＝－1.又当x＝2时，y＝＝1，所以切线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 类型二　求切点坐标 答题模板 求切点坐标的四个步骤 (1)先设切点坐标为(x0，y0)． (2)求切线的斜率f′(x0