5.3.2 第3课时 导数在函数有关问题及实际生活中的应用(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第3课时　导数在函数有关问题及实际生活中的应用 [学习目标] 1.能用导数解决函数的零点问题.2.体会导数在解决实际问题中的作用.3.能利用导数解决简单的实际问题(重难点)． 要点一　函数图象的画法 函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1)求出函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5)画出f(x)的大致图象． 要点二　生活中的优化问题的概念 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．所谓生活中的优化问题，其实就是求最值或求最值条件的实际应用问题，导数是求最值的有力工具，因此和函数有关的优化问题可利用导数来研究． 2．利用导数解决优化问题的基本思路是： 思考：解决生活中的优化问题应注意什么？ 提示 (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域． (2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等． 类型一　利用导数研究函数零点问题 规律总结 与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象进行求解，或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题来确定参数的取值范围． 【例题1】 设函数f(x)＝－kln x，k＞0. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 解析　(1)由f(x)＝－kln x(k＞0)得f′(x)＝x－＝，由f′(x)＝0解得x＝，则f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如表所示. x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 单调递增 所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)，所以f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值． (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝＞0，f()＝＜0，所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 【变式1】 若方程ax＝x(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，求实数a的取值范围． 解析　由ax＝x知x＞0，故x·ln a－ln x＝0⇒ln a＝，令f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝.当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝，又f(1)＝0，x＞e时，f(x)＞0，所以要使ln a＝有两个不等实根，则有0＜ln a＜，即1＜a＜e.所以实数a的取值范围为(1，e)． 类型二　用料最省、成本(费用)最低问题 规律总结 (1)求解优化问题中的最小值问题的思路 ①设出变量，找出函数关系式，确定定义域； ②在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． (2)在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值．若求出极值点，注意根据实际意义舍去不合适的极值点，函数在符合实际意义的极值点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值． 【例题2】 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)，固定部分为a 元． (1)把全程的运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：千米/时)的函数，并指出函数定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解析　(1)由已知条件可知汽车从甲地到乙地所用的时间为小时，则全程的运输成本y＝a·＋bv2·＝s，v∈(0，c]． (2)由题设可知s，a，b，v均为正数，则y′＝s，令y′＝0，得v＝.若≤c，则当v＝时，y最小；若>c，因为v∈(0，c]，所以y′<0，所以y在(0，c]上单调递减，所以当v＝c时，y最小．综上可知，为使全程的运输成本最小，当≤c时，行驶速度v＝