5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值与导数(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　函数的最大(小)值与导数 [学习目标] 1.理解函数的最值的概念.2.了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点).3.能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值(重点).4.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 要点一　函数最值的定义 1．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 2．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 思考：如果在(a，b)上的增函数f(x)的图象连续不断，f(x)有最值吗？ 提示 没有．f(x)的值域是(f(a)，f(b))． 要点二　 求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 思考：函数的极值和最值有何差别？函数的极值是否唯一？ 提示 函数极值是一个局部概念，只是描述在某个点附近的函数值的特征，并不意味着在整个定义域内取得最值；函数的极值并不唯一． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(　　) 解析　(1)错误．函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得． (2)正确．若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确． (3)错误．y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 类型一　求函数的最值 规律总结 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的方法 (1)求函数f(x)的导函数f′(x)． (2)解方程f′(x)＝0，求出使得f′(x)＝0的所有解． (3)计算函数f(x)在区间[a，b]内的各极值以及端点处的函数值． (4)比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值． 【例题1】 求下列函数的最值． (1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈. 解析　(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. x － (－，－1) －1 (－1,1) 1 (1，) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 0 单调递减 －2 单调递增 2 单调递减 0 由表可知，当x＝1时，f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(1)＝2；当x＝－1时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝f(－1)＝－2. (2)f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)＝0，－≤x≤，得x＝－或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. x － － f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 － 单调递增 x f′(x) 0 － f(x) － 单调递减 － 由表可知，当x＝－时，f(x)取得最大值f＝，当x＝时，f(x)取得最小值f＝－. 【变式1】 (2021·新高考Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________. 解析　函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)． ①当x>时，f(x)＝2x－1－2ln x，所以f′(x)＝2－＝，当<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1； ②当0<x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x，则f′(x)＝－2－<0，所以f(x)在上单调递减， 所以f(x)min＝f＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4>ln e＝1. 综上，f(x)min＝1. 答案　1 类型二　求含参函数的最值 规律总结 含参函数最值的求解策略 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值变化．因此需要对参数进行分类讨论，分类时常见的讨论：①f′(x)的类型，如f′(x)＝ax2＋2x－1时，可以分a＞0，