5.3.2 第1课时 函数的极值与导数(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值与导数 [学习目标] 1.了解极大值、极小值的概念.2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(重点、易混点).3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值(重点)． 要点一　函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极小值点、极大值点统称为极值点；极小值和极大值统称为极值. 思考：导数为0的点一定是极值点吗？ 提示 不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反． 要点二　函数极值的求法与步骤 (1)求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义区间，求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表； ④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数的极大值一定大于极小值．(　　) (2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值．(　　) (3)在定义域上的单调函数一定没有极值．(　　) 解析　(1)错误．极大值不一定比极小值大． (2)错误．有的函数可能没有极值． (3)正确．由极值的定义可知，该命题正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 类型一　由函数图象分析函数极值 规律总结 由函数图象研究极值的方法 (1)对于导函数的图象，重点关注导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的． (2)对于函数的图象，重点关注函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点． 【例题1】 (多选)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增 B．函数f(x)在x＝－1处取得极大值 C．函数f(x)在x＝－处取得极大值 D．函数f(x)在x＝1处取得极小值 答案　ABD 解析　从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，A项正确；当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，所以f′(x)<0，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，B项正确；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(－1,0)上单调递减，C项错误；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，故f(x)在区间(0,1)上单调递减，而在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，D项正确．故选ABD项． 【变式1】 函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 解析　函数f(x)在极小值点附近的图象应有先减后增的特点，因此应该在导函数的图象上找曲线从x轴下方过渡到x轴上方时与x轴的交点，这样的点有2个，所以函数f(x)在(a，b)内有2个极小值点．故选B项． 类型二　求函数的极值 规律总结 用导数研究函数的极值的应对策略 在判断f′(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别． 【例题2】 (1)求函数f(x)＝－2的极值． (2)求函数f(x)＝x－aln x的极值． 解析　(1)函数f(x