5.3.1 函数的单调性(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 [学习目标] 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性(重难点).3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间(重点)． 要点一　函数的单调性与导数的关系 1．一般地，在区间(a，b)上，函数f(x)的单调性与导数f′(x)的正负有如下关系. 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 2.一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第1步：确定函数的定义域； 第2步：求出导数f′(x)的零点； 第3步：用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 要点二　函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系 观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系如表所示. 图象 导数 导数为正，且绝对值越来越大 导数为正，且绝对值越来越小 导数为负，且绝对值越来越大 导数为负，且绝对值越来越小 函数 值 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 图象 特点 越来越陡峭 越来越平缓 越来越陡峭 越来越平缓 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　) 解析　(1)正确．由函数的单调性与导数的关系知结论正确． (2)错误．切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误． (3)正确．函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致． (4)正确．若f′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间上单调递增(减)，故在区间内的个别点f′(x)＝0不影响函数的单调性． 答案　(1)√　(2)×　(3)√　 (4)√ 类型一　导函数与原函数的图象 规律总结 研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点 研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时，要注意抓住各自的关键要素．对原函数，我们应重点关注其图象在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减；而对于导函数，则应关注其函数值在哪个区间上大于零，哪个区间上小于零，并关注这些区间与原函数的单调区间是否一致． 【例题1】 (1)f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的(　　) (2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) 解析　(1)当x∈(－∞，0)时，导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上原函数的图象呈上升趋势，可排除B，D项；当x∈(0,2)时，导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上原函数的图象呈下降趋势，可排除A项．故选C项． (2)方法一　由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．故选B项． 方法二　由于f′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f(x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．由于当x＞0时，f′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B项正确．故选B项． 答案　(1)C　(2)B 【变式1】 已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案　C 解析　当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．故选C项． 类型二　利用导数求函数的单调区间 答题模板 用解不等式法求单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导函数f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，并写出解集； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 【例题2】 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝. 解析　(1)f(x)＝3x2－2ln x的定义域