4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标] 1.掌握等比数列前n项和的性质及应用(重难点).2.掌握等比数列的实际应用.3.能用分组转化法求数列的和． 要点一　等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数．数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝Aqx－A图象上的一群孤立的点．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝ax图象上的一群孤立的点． 要点二　等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q； ②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则＝q. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝3×2n－3，则该数列是等比数列．(　　) (2)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.(　　) (3)若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) (4)已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列．(　　) 解析　(1)正确．等比数列的前n项和公式可以写成Sn＝Aqn－A(q≠1)的形式，所以该数列是等比数列． (2)错误.＝q＝＝. (3)错误．若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列． (4)错误．当a1<0,0<q<1时，等比数列{an}是递增数列，此时an<0，从而{Sn}是递减数列，结论错误． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 类型一　等比数列前n项和性质的应用 规律总结 解决有关等比数列的前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列的前n项和的相关性质，则可以避繁就简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论．解题时把握好等比数列的前n项和性质的使用条件，并结合题设寻找使用性质的切入点． 【例题1】 (1)(2021·全国甲)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝__________. 解析　(1)因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即4,2，S6－6成等比数列，所以S6－6＝1，即S6＝7.故选A项． (2)设x＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，y＝a1＋a3＋a5＋…＋a79，则＝q＝3，即x＝3y.又x＋y＝S80＝32，所以x＝32，解得x＝24. 答案　 (1)A　(2)24 【变式1】 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝__________. (2)若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝__________. 解析　(1)由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，所以S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝＝2. (2)因为Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，所以3－2k＝0，即k＝. 答案　 (1)2　(2) 类型二　分组求和法 规律总结 (1)应用条件：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成． (2)解题步骤 ①分组：分析通项公式或对通项公式适当变形，分为可求和数列相加的形式； ②求和：分别对分组后的数列求前n项和； ③相加：相加得原数列的前n项和． 【例题2】 在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2,8a2＋2a4＝a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为8a2＋2a4＝a6，所以8a1q＋2a1q3＝a1q5，又a1＝2，所以8＋2q2＝q4，解得q2＝4，所以q＝2.所以an＝a1qn－1＝2n，n∈N*. (2)由(1)知bn＝2n＋2n，所以Tn＝(21＋2)＋(22＋4)＋(23＋6)＋…＋(2n＋2n)＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋(2＋4＋6＋…＋2