4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标] 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式(重点).2.会用错位相减法求数列的和(难点).3.掌握等差数列与等比数列的综合应用(难点)． 要点一　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 要点二　错位相减法 1．推导等比数列前n项和公式的方法叫错位相减法． 2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bncn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 思考：如果Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1，两边同乘q，再两式相减会怎样？ 提示 Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1　 ①，qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn－1＋anqn　 ②，①－②得，(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)q2＋…＋(an－an－1)qn－1－anqn＝a1＋d(q＋q2＋…＋qn－1)－anqn，同样能转化为等比数列求和． 要点三　等差数列与等比数列的综合应用 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用；既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据问题情境具体分析，寻找解题的突破口． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝－Aqn＋A(q≠1)．(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　) (4)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　　) 解析　(1)错误．公式中应注意q＝1的情况． (2)正确．由等比数列的前n项和公式可知命题正确． (3)错误．要分a＝0，a＝1和a≠0且a≠1讨论求解． (4)正确．可知该数列为常数数列． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 类型一　等比数列前n项和公式的基本运算 规律总结 (1)知三求二：在等比数列前n项和公式中，共有a1，an，q，n和Sn这五个量，已知其中任意三个，都可以求出另外两个． (2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，求出首项a1和公比q这两个基本量，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． (3)一个注意点：凡涉及等比数列前n项和的问题，必须注意公比q是否等于1，如果不确定，应分q＝1和q≠1两种情况讨论． 【例题1】 在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. (1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n； (2)S3＝，S6＝，求an及Sn； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解析　(1)由题意知解得 (2)S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，即1＋q3＝＝9，解得q＝2. 将q＝2代入S3＝＝得a1＝，所以an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－. (3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而或又Sn＝＝126，所以q＝2或q＝. 【变式1】 (2019·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________. 解析　设等比数列的公比为q，因为a1＝，a＝a6，所以2＝q5，又q≠0，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 答案　 类型二　错位相减法求和 规律总结 错位相减法的适用范围及注意事项 (1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和． (2)注意事项 ①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1. 【例题2】 设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q>0.由题意可得解得故an＝2＋2(n－1)＝2n，bn＝2×2n－1＝2n. (2)证明：因为cn＝＝＝，设数列{cn}的前n项和为