4.3.1 第2课时 等比数列的性质(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质 [学习目标] 1.掌握等比数列的性质及其应用(重难点).2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 要点一　等比数列的单调性 公比q 单调性 首项a1 q>1 0<q<1 q＝1 a1>0 递增数列 递减数列 常数列 a1<0 递减数列 递增数列 要点二　等比数列的常用性质 1．对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝aman－m＋1(n>m且n，m∈N*)． 2．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则akal＝aman. 3．若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． 4．在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列． 5．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2；若数列{an}是各项都为正数的等比数列且公比为q，则数列{lg an}是公差为lg_q的等差数列． 6．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)在等比数列{an}中，当a1＞0时，{an}是递增数列．(　　) (2)在等比数列{an}中，当q＞1时，{an}是递增数列．(　　) (3)若数列{an}是等比数列，那么，{a}，{|an|}都是等比数列．(　　) (4)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(　　) 解析　(1)错误．当0<q<1，a1＞0时，数列{an}是递减数列． (2)错误．当q＞1，a1＜0时，数列{an}是递减数列． (3)正确．若{an}的公比为q，则，{a}，{|an|}的公比分别为，q2，|q|. (4)正确．由等比数列的性质可知，命题正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 类型一　灵活设项求解等比数列 解题技巧 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列，一般可设为，a，aq. (2)四个数成等比数列，一般可设为，，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3. (3)五个数成等比数列，一般可设为，，a，aq，aq2. 【例题1】 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数． 解析　方法一　设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a.由题意得解得q＝2或q＝.当q＝2时，a＝6，这四个数为3,6,12,18；当q＝时，a＝，这四个数为，，，. 方法二　设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因此这四个数为，a－d，a，a＋d.由题意得解得或故这四个数为3,6,12,18或，，，. 方法三　设第一个数为a，则第四个数为21－a，设第二个数为b，则第三个数为18－b，则这四个数为a，b,18－b,21－a，由题意得解得或故这四个数为3,6,12,18或，，，. 【变式1】 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列，求这四个数． 解析　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列， 即 整理得解得 因此这四个数分别是3,6,12,24. 类型二　等比数列的性质及应用 解题技巧 解决等比数列的计算问题常用的两种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量．这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁琐． (2)数列性质：等比数列每相邻几项的积成等比数列、与首末两项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等经常被使用． 【例题2】 已知数列{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解析　(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. (2)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)·(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10. 【变式2】 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．±5 (2)在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则的值为(　　) A．－或 B．－ C. D．或－ 解析　(1)方法一