4.3.1等比数列的概念（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.3等比数列 1 .等比数列的概念 第4章 数列 人教A版选择性必修第二册·高二 实例1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ；① ； ② . ③ 情境引入 实例2.《庄子 • 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完. 形象地说明了事物具有无限可分性. 用数学眼光来看，就是如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 3 实例3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，每一个细菌都分裂成两个，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2， 2，4， 2，4，8， 2，4，8，16，32，64，. ⑤ 4 实例4.某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是多少？ 存入元，第一年末 元， 第二年末 元， 第三年末 元， 第四年末 元， 第五年末 元. 即5年内每年末得到的本利和为 ，. ⑥ 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息。 5 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列. 【定义】 问题1 问题2 你能用递推公式的形式将定义表达出来吗？ 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母(q≠0)表示。 其中的取值范围是什么？ 注：①等比数列的每一项和公比都不为0. 如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列； 0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列； 由三个数组成等比数列.这时,叫做与的等比中项. 这三个数满足关系式：. 【定义】 已知数列为等比数列，请将空白处填上恰当数字. 问题3 等比中项的特点： ①与符号相同；②若与有等比中项，则必有两个. 思考1：等差数列的公差、项均可以为0，等比数列呢？ 思考2：是否存在即是等差数列又是等比数列的数列？ 一个等比数列中，每一项都不为0，公比q也不为0. 非零常数列. 思考3:任意两个实数都有等比中项吗？ 当同号时，才有等比中项. 不完全归纳法 问题4 你能类比等差数列通项公式的推导过程，推导出等比数列的通项公式吗？ 等差数列 ， ， ， 归纳得，. 当时，上式也成立. 因此，首项为，公差为的等差数列的通项公式为   等比数列 ， ， ， 由此可得， . 又 ， 这就是说，当时上式也成立. 因此，首项为，公比为的等比数列的通项公式为 等比数列 个 所以 . 等差数列 ， ， ， ， ， 累加法得到： ， 所以， 累乘法得到 从运算角度出发，还可以用什么方法推导等比数列的通项公式？ 问题5 当时 当时 即 ， 当时 你能从函数角度建立等比数列与相应的函数的联系吗？ 问题6 是关于的指数型函数，形如 思考4.类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性. 指数函数的单调性 单调递减 单调递增   等比数列的单调性 单调递减 单调递增 不变 等比数列 的单调性 单调递减 单调递增 不变 单调递增 单调递减 不变 证明：设等比数列的公比为，则 ，， ， ， 所以 ， ， 因为， 所以. 通过证明可知，此性质并不需要等比数列各项均为正. 性质：等比数列中，已知，则. 例1.若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 典例分析 分析：等比数列由唯一确定，可利用条件列出关于的方程（组），进行求解。 解法1：由，，得 的两边分别除以①的两边，得 解得 把代入①中，得：， 又 a5= a1 · q4， ∴ a5= 24 或 – 24. 例1.若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 解法 2：∵是与的等比中项，∴ ， ∴的第5项是24或–24. 解：由题意得： 的两边同时除以①的两边得： = =)， 例2.已知等比数列的公比为,试用的第项表示. 小结：等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 即： 例3.数列共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80，第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列． 分析：利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解。 解:设前三项的公比为,后三项的公差为,则数列的各项依次为： 于是得： 与等比数列有关的数的设项技巧： (1)如果是三个数成等比数列，可设为, a, aq或a, aq, aq2 (2)如果是四个数成等比数列，可设为, aq, aq3或a, aq, aq2, aq3 解方程组，得：或 所以这个数列是20,40,80,96,112或180,120,80,16,-48. 课堂练习 练习1.三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 解：设这三个数依次为 20 练习2.已知等比数列的通项公式为 . (1)求公比 ； (2)判断数列 的单调性. (1)由得公比 . (2)解法一：由于，公比，且 ， 所以等比数列 为递增数列. 解法二：由 ，得 ， 所以 ，等比数列 为递增数列. 练习5.在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列并求通项公式. 证明:(法一 定义法） ， . 又 练习5.在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列并求通项公式. 证明:(法二 等差中项法） ，所以 . 即成等比数列， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列. 练习5.在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列并求通项公式. 证明:(法三 构造法） 所以数列是首项为，公比为2的等比数列. 等比数列的判定与证明 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列满足(，为常数且不为零)或 (且，为常数且不为零)，则数列是等比数列. (2)通项公式法：若数列的通项公式为 ，则数列是等比数列. (3)等比中项法：若且，则为等比数列. (4)构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是 把与对照，求出即可. 练习6.在等比数列中，，则 A．9或－9 B．9 C．27或－27 D．－27 解析：由等比中项的性质得＝∴由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以 在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同． 解此类题时要小心谨慎，以防上当． 解：(法1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36， ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 1.等比数列的概念 2.等比中项的概念 3.等比数列的通项公式 课堂小结 4.等比数列的性质与判定 性质：等比数列中，已知 ，则：. 30 感谢聆听! $