（挑战压轴）专项4.1 相似三角形种8字型（2种类型）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（浙教版）

（挑战压轴）专项4.1 相似三角形种8字型（2种类型） 【方法技巧】 基本模型： 1.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（　　） A．2米 B．3米 C．米 D．米 【答案】B 【解答】解：由题意知：AB∥CD， 则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝3米， 故选：B． 2.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝2，OC＝5，AB＝4，则CD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△AOB∽△DOC， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝10， 故选：D． 3.如图，DE∥BC，则下列比例式正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】A 【解答】解：A．∵DE∥BC， ∴＝， 故A符合题意； B．∵DE∥BC， ∴＝， 故B不符合题意； C．∵DE∥BC， ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， 故C不符合题意； D．∵DE∥BC， ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， 故D不符合题意； 故选：A． 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝．（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD且AB∥CD， ∴△AOE∽△CBO， ∵AE：ED＝1：2， ∴AE：AD＝1：3， ∴AE：BC＝1：3， 因为相似三角形的面积比等于相似比的平方， 所以S△AOE：S△COB＝1：9， 故选：D． 5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　） A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．3：5 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵DE：EC＝4：1， ∴， ∴， ∵DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴＝， 故选：C． 6.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F． （1）求证：BC＝CD+ED； （2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴AE＝CD， ∵AD＝AE+DE， ∴BC＝CD+ED； （2）∵AF＝3，AC＝8， ∴CF＝AC﹣AF＝8﹣3＝5， ∵∠AEB＝∠EBC，∠AFE＝∠BFC， ∴△AFE∽△CFB， ∴＝＝， ∴设AE＝3x，BC＝5x， ∴AB＝AE＝3x， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴（3x）2+82＝（5x）2， ∴x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴AE＝3x＝6， ∴AE的长为6． 7.如图，在▱ABCD中，F是AB边上一点，连接CF并延长交DA的延长线于点E． （1）求证：△BCF∽△DEC． （2）若BC＝10，BF＝4，AE＝5，则AB＝　 　． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB∥DC． ∴∠BFC＝∠DCE． ∴△BCF∽△DEC； （2）解：∵△BCF∽△DEC， ∴， ∴＝， ∴AF＝2， ∴AB＝AF+BF＝6． 故答案为：6． 8.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB延长线上一点，连接DE交AC于点F，交BC于点G． （1）求证：； （2）若DF＝6，FG＝4，求GE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠ADF＝∠DGC，∠DAF＝∠ACG， ∴△ADF∽△CGF， ∴； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，DC∥AB， 由（1）得：△ADF∽△CGF， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴＝2， ∵DC∥BE， ∴＝＝2， ∴GE＝＝＝5， ∴GE的长为5． 9.已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F． （1）求证：； （2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE． 【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC， ∴＝