第七章 第二节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题（word教参）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教 全国版）

　 知识梳理 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By ＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By ＋C≥0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 画平面区域边界时，要注意是虚线还是实线． 2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(或方程)组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 续表 名称 意义 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解． 3．简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即： (1)画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)； (2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点； (3)求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值； (4)答：给出正确答案． 学霸笔记 1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域； (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实数． (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证． 2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 (1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； (2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方． 其中Ax＋By＋C的符号是给出的二元一次不等式的符号． 3．平移规律 当b>0时，直线z＝ax＋by向上平移z变大，向下平移z变小；当b<0时，直线z＝ax＋by向上平移z变小，向下平移z变大． 4．最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个． 进阶诊断 1．判断正误 (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　√　) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　√　) (4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　) 2．(不明确目标函数的最值与等值线截距的关系致误)已知变量x，y满足约束条件则z＝x－y的最大值为(　A　) A．1　　　　　 B．．2　　　　　 C．3　　　　　 D．4 3．(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　C　) A．18 B．10 C．6 D．4 4．(对“最优解有无数个”理解致误)已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为____－1____． 解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，所以－a＝kAB＝1，所以a＝－1. 考点1　二元一次不等式(组)表示的平面区域　　　　　　　　　　　　自主练通 1．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(　A　) A．1　　　　　　　　　　 B．．－1 C．0 D．－2 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k＝0时，此三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立，所以k＞0，则必有BC⊥AB，因为x＋y－4＝0的斜率为－1，所以直线kx－y＝0的斜率为1，即k＝1，满足题意． 2．(2021·贵州期末)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│＝(　C　) A.2 B．4 C．3 D．6 解析：作出不等式组的可行域，如图(阴影部分)， 区域内的点在直线x＋y－2＝0上投影构成线段R′Q′，即线段AB，而R′Q′＝PQ， 由得即Q(－1，1)， 由得即R(2，－2)， 则|AB|＝|QR|＝＝＝3. 3．(2021·河南郑州模拟)在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域