第二章 第2节 函数的单调性与最值（课件）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2023版·数学（文） 高三一轮总复习 第二章　函数的概念与 基本初等函数Ⅰ 第2节　函数的单调性与最值　 上升的 下降的 [课标要求]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1<x2时，都有_________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有_________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数 减函数 图象描述 自左向右看图象是_________ 自左向右看图象是_________ (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． f(x0)＝M 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有_________； (2)存在x0∈I，使得_________ (3)对于任意x∈I，都有_________； (4)存在x0∈I，使得_________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M (一)必背常用结论 (1)函数单调性的两种等价形式,设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么,①eq \f((x1)－f(x2),x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；eq \f((x1)－f(x2),x1－x2) <0⇔f(x)在[a，b]上是减函数. ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数. (2)对勾函数y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq \r(a)]和[eq \r(a)，＋∞)，减区间为[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a)]. (3)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数. (4)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反. (5)函数f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”. (二)盘点易错易混 1.若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数. 2.求复合函数的单调区间时易忽视定义域，记住单调区间是定义域的子集. 【小题热身】 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内的单调递减的是(　　) A．y＝eq \f(1,x)－x B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex 解析：对于选项A，y＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)内是减函数，y＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝eq \f(1,x)－x在(0，＋∞)内是减函数；B、C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在(0，＋∞)上是增函数． 答案：A 2．[易错题]已知函数f(x)＝eq \r(x2－2x－3)，则该函数的单调递增区间为(　　) A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) 解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B. 答案：B 解析：当x≥1时，f(x)max＝1，x<1时，f(x)max＝2，综上f(x)的最大值为2. 答案：2 3．函数y＝eq \r(x2－2x＋3)有(　　) A．最小值2 B．最小值eq \r(2) C．最大值2 D．最大值eq \r(2) 解析：易知y＝eq \r((x－1)2＋2)，因为(x－1)2＋2≥2，所以y≥eq \r(2). 答案：B 4．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为_________． 5．已知函数f(x)的定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间