选修4－4 第1节 坐标系（课件）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2023版·数学（文） 高三一轮总复习 选修4－4　坐标系 与参数方程 第1节　坐标系 极径 极角 ρcos θ ρsin θ _________ [课标要求]　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x(λ>0)，,y′＝μ·y(μ>0)))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的_________，θ称为点M的_________．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝_________，,y＝_________，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝_________，,tan θ＝\f(y,x)(x≠0).)) 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． x2＋y2 ρcos θ＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2))) ρsin θ＝a(0<θ<π) 3．常见曲线的极坐标方程 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为r的圆 ___________________ 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ___________________ 圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆 ___________________ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R) 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ___________________ 过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线 ___________________ ρ＝r(0≤θ<2π) ρ＝2rcos θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ<\f(π,2))) ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) (一)必背常用结论 1.明确两个坐标： 伸缩变换关系式eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx(λ>0)，,y′＝μy(μ>0)，))点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程 2.把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便准确地求出角θ.利用两种坐标的互化可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题. (二)盘点易错易混 1.忽视极坐标方程的条件致误； 2.极坐标与直角坐标互化错误致误. 【小题热身】 1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2))) C．(1，0) D．(1，π) 解析：法一　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1， 圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2))). 法二　由ρ＝－2sin θ＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))，知圆心的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π