专题05 二次根式-备战2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

专题05 二次根式 【专题目录】 技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值 技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧 【题型】一、二次根式有意义的条件 【题型】二、利用二次根式的性质化简 【题型】三、二次根式的乘除运算 【题型】四、最简二次根式 【题型】五、同类二次根式 【题型】六、二次根式的加减 【题型】七、二次根式乘除混合运算 【考纲要求】 1、掌握二次根式有意义的条件和基本性质()2＝a(a≥0)，能用二次根式的性质＝|a|来化简根式． 2、能识别最简二次根式、同类二次根式．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算. 【考点总结】一、二次根式 二 次 根 式 概 念 二次根式的概念 形如(a≥0)的式子. 二次根式有意义的条件 要使二次根式有意义，则a≥0. 最简二次根式 ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 性 质 双重非负性 ①被开方数是非负数，即a≥0； ②二次根式的值是非负数，即≥0. 两个重要性质 ①()2＝a(a≥0)； ②＝|a|＝； 【考点总结】二、二次根式的运算 二 次 根 式 运 算 二次根式的加减法 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． 二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘法：·=(a≥0，b≥0)； (2)二次根式的除法： = (a≥0，b＞0)． 二次根式的混合运算 运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）． 【注意】 1、化简二次根式的步骤（易错点） （1）把被开方数分解因式(或因数) ； （2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； （3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式()2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。 2、二次根式运算中的注意事项 （1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 （2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 【技巧归纳】 技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值 【类型】一、利用二次根式的定义判定二次根式 1．下列式子中为二次根式的是(　　) A.　　　　　B. C. D.(x＜0) 【类型】二、利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 2．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子＋. 【类型】三、利用最简二次根式的定义识别最简二次根式 3．把下列各式化成最简二次根式． (1)；　(2)(a≥0，b≥0)； (3)(mn＞0)；　(4)(x≠y)． 【类型】四、利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值 4．如果最简根式和是被开方数相同的最简二次根式，那么(　　) A．a＝0，b＝2 B．a＝2，b＝0 C．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－2 5．如果最简二次根式与在二次根式加减运算中可以合并，求使有意义的x的取值范围． 参考答案 1．C 2．解：∵＝， 且无论x取何实数，代数式都有意义， ∴m－4≥0，∴m≥4. 当m≥4时，＋＝(m－3)＋(m－4)＝2m－7. 3．解：(1)＝＝. (2)＝＝2a(a≥0，b≥0)． (3)由－≥0，mn＞0知：m＜0，n＜0，∴＝＝＝－. (4)＝＝(x≠y)． 4．A　点拨：由题意得 解得故选A. 5．解：由题意得3a－8＝17－2a. ∴a＝5.∴＝. 要使有意义，只需有意义即可． ∴20－2x≥0，∴x≤10. 技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧 【类型】一、估算法 1．若将三个数－，，表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________． 【类型】二、公式法 2．计算：(5＋)×(5－2)． 【类型】三、拆项法 3．计算：.[提示：＋4＋3＝(＋)＋3(＋)] 【类型】四、换元法 4．已知n＝＋1，求＋的值． 【类型】五、整体代入法 5．已知x＝，y＝，求＋－4的值． 【类型】六、因式分解法 6．计算：. 【类型】七、配方法 7．若a，b为实数，且b＝＋＋15，试求－的值． 【类型】八、辅元法 8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．[来源:学§科§ 【类型】九、先判后算法 9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值． 参考答案 1.　点拨：因为－＜0，2＜＜3，3＜＜4，所以被墨汁覆盖的数为. 2．解：原式＝(5＋)×[5