专题16 圆锥曲线中的圆的问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题16 圆锥曲线中的圆的问题 一、真题剖析 【2021年甲卷文科】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以抛物线为载体，考查考生对圆与抛物线的位置关系的综合性应用，侧重于对抛物线与圆的位置关系的考查。 【必备知识】本题考查圆与抛物线位置关系的问题。 【能力素养】本题考查逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 【解析】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）[方法一]：设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设， 则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在， 则， 所以直线方程为， 整理得， 同理直线的方程为， 直线的方程为， 与圆相切， 整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为： ， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. [方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1． 当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切． 综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 二、题型选讲 题型一 椭圆与圆的综合性问题 例1、(2022·江苏海安中学期初)(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－2，0)，F2(2，0)，点M满足|MF1|＋|MF2|＝，记M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设l为圆x2＋y2＝4上动点T(横坐标不为0)处的切线，P是l与直线的交点，Q是l与轨迹C的一个交点，且点T在线段PQ上，求证：以PQ为直径的圆过定点． 【解析】(1)由题意可知M的轨迹是以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点，为长轴的椭圆，所以，解得，故C的方程为； (2)当动点T(2，0)时，则切线为x＝2，所以P(2，2)，Q(2，－)，所以圆的方程为， 当动点T(－2，0)时，则切线为x＝－2，所以P(－2，2)，Q(－2，－)，所以圆的方程为， 当动点T(，)时，则切线为y＝－x＋2，所以P(0，2)，Q(2，0)，所以圆的方程为， ，解得， 所以以PQ为直径的圆过定点O(0，0)； 接下来证明以PQ为直径的圆过定点O(0，0). 显然切线斜率不为0，故设切线l的方程为x＝my＋t，则，所以P(2m＋t，2)， O到切线的距离，因此，设Q(x2，y2)， ，所以， ， 因此，因此， 所以， 因此以PQ为直径的圆过定点O(0，0). 变式1、（2022·湖北襄阳·高三期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为4，且该四边形内切圆的方程为． (1)求椭圆的方程； (2)直线(,均为常数)与椭圆相交于，两个不同的点(,异于,)，若以为直径的圆过椭圆的右顶点，试判断直线能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）由菱形面积得，由内切圆圆心到四边形四边所在直线距离等于半径得的一个等式，两者结合解得得椭圆方程； （2）设，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，由求出的关系，再观察直线方程得定点坐标． (1) 四边形的面积为4，且可知四边形为菱形 ∴，即① 由题意可得直线方程为：，即， ∵四边形内切圆方程为 ∴圆心到直线的距离为，即②． 由①②：，， ∴椭圆的方程为：； (2)设，， 由得：， ∵直线与椭圆相交于，两个不同的点， ∴，即③ 由韦达定理得 ∵以为直径的圆过椭圆的右顶点， ∴，， 由于，所以， ∴， 即， 从而， 即， ∴，或适合③． 当时，直线，所以恒过定点， 当时，直线，过定点，舍去． 综上可知：