专题02 二项式定理与杨辉三角（精讲）-2022-2023学年高二数学常见考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

专题02 二项式定理与杨辉三角（精讲） 知识梳理 一 二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*). (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理. (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有项. (3)二项式系数：各项的系数 (k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数. (4)二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝an－kbk 二 杨辉三角与二项式系数的性质 因为(a+b)0=1，所以可以把n=0对应的二项式系数看成1.把n=0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排成如下数表形式: 杨辉三角的性质: (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.事实上，设表中任一不为1的数为，那么它上一行中与这个数相邻的两个数分别为 和由组合数的性质，有=1，=1，. (3)对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知，二项式系数，…，，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. (4)二项展开式的二项式系数的和等于2n. 在(1+x)n=xn+xn-1+xn-2+…+x0中，令x=1，则+…+=2n. 常见考点 考点一 求指定项的二项式系数 典例1．的展开式中x的二项式系数为（    ） A． B．10 C．20 D．250 【答案】B 【分析】求出通项公式，利用的次数求得的值，然后代入进行求解即可． 【详解】解：展开式的通项公式为， 由得， 则x的二项式系数为， 故选：B． 变式1-1 ．在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果. 【详解】第项的二项式系数为， 故选：A. 变式1-2．二项式的展开式中第3项的二项式系数为（    ） A． B．56 C． D．28 【答案】D 【分析】二项式展开式的第k+1项的二项式系数为，进而得到答案. 【详解】二项式展开式第三项的二项式系数为. 故选：D. 变式1-3．在的展开式中第4项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据二项式定理可