专题1.14 利用三角函数测高（例题讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.14 利用三角函数测高（例题讲解） 解题方法：因为三角函数是建立在直角三角形的基础上的三角函数，所以利用三角函数测高时首先建立直角三角形，因此，在解题过程中，没有直角三角形时要构造直角三角形，同时要解决问题往往一个甚至几个直角三角形，这就要梳理出几个三角形中的边角之联系，找准解题的切入点，从而达到解题的目的。 【典型例题】 类型一、直接求三角形的高 1． 如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到） 【答案】 【分析】先根据题意作出示意图，然后在RT△ACE中，可得出CE的长度，继而可得出乙楼的高度． 解：由题意得： ∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m， 在Rt△ACE中，CE＝AE∙tan∠CAE＝10m， 故可得乙楼的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈． 【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出CE的长度，难度一般． 举一反三： 【变式1】如图，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知测倾器CD的高度为1.54米，测点D到旗杆的水平距离BD=20米，测得旗杆顶A的仰角α=35°，求旗杆AB的高度（精确到0.01米）. 【答案】15.54米 【分析】在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可． 解：在Rt△ACE中，∠ACE=α=35°，CE=BD=20， ∴tan∠ACE=， ∴AE=CE•tan∠ACE=20•tan35°， ∴AB=AE+BE= 14.004+1.54≈15.54（米）． 【点拨】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 【变式2】如图，在坡角为20°的山坡上有一铁塔AB、其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在广告牌上的影子CD＝5米，已知AB，CD均与水平面垂直，请根据相关测量信息，求铁塔AB的高．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】铁塔AB的高约为11米． 【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，分别求出DN、BN的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度． 解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N， 在Rt△BND中， ∵∠DBN=20°，BD=10， ∴DN=BDsin∠DBN≈10×0.34=3.4， BN=BDcos∠DBN≈10×0.94=9.4， ∵AB∥CD，CE⊥AB，BN⊥CD， ∴四边形BNCE为矩形， ∴BN=CE=9.4，CN=BE=CD﹣DN=1.6， 在Rt△ACE中，∠ACE=45°， ∴AE=CE=9.4， ∴AB=9.4+1.6=11（米）． 答：铁塔AB的高约为11米． 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 类型二、由两个直角三角形求高 2．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）． 【答案】拦截点D处到公路的距离是（500+500）米． 【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90，拦截点D处到公路的距离DA＝BE+CF．解Rt△BCE，求出BE＝BC＝×1000＝500米；解，求出CF＝CD＝500米，则DA＝BE+CF＝（500+500）米． 解：如图，过B作AB的垂线，两线交于点E，过D作AB的平行线，则∠E＝∠F＝90． ∵在中，∠E＝90， ∴∠BCE＝30， ∴BE＝BC＝500； ∵在中，∠F＝90，∠DCF=45，CD＝BC＝1000米， ∴CF＝CD＝500米， ∴DA＝BE+CF＝（500+500）米， 故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米． 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 举一反三： 【变式1】如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 (即AB：