第一章 §1.4　基本不等式-2023高考数学【步步高】大一轮复习讲义（新教材人教A版 课件）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙晋皖黑吉云

第一章 §1.4　基本不等式 1 考试要求 1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用. 2 落实主干知识 课时精练 探究核心题型 内容 索引 LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识 4 1.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立. (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. a>0，b>0 a＝b 知识梳理 5 2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R). (2) ≥ (a，b同号). (3)ab≤ (a，b∈R). (4) ≥ (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2ab 2 6 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy 有最大值 . 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 7 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) × × (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　) √ × 思考辨析 √ ∵x>2， 教材改编题 2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是 √ √ 当ab<0时，D不成立. 10 3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_____ m2. 25 设矩形的一边为x m，面积为y m2， 其中0<x<10， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，∴ymax＝25， 即矩形场地的最大面积是25 m2. 11 TANJIUHEXINTIXING 探究核心题型 12 命题点1　配凑法 例1　(1)(2022·长沙模拟)设0<x< ，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为 题型一 利用基本不等式求最值 √ A.最大值0 B.最小值9 C.最大值－3 D.最小值－3 √ 9 因为x>－1，则x＋1>0， 所以函数的最小值为9. 命题点2　常数代换法 √ 因为a>0，b>0，且a＋b＝2， 命题点3　消元法 例3　(2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____. 6 方法一　(换元消元法) 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 方法二　(代入消元法) 所以x＋3y的最小值为6. 延伸探究　本例条件不变，求xy的最大值. ∴t>0， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3. ∴xy的最大值为3. 教师备选 1.(2022·哈尔滨模拟)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于 A.16 B.6 C.18 D.12 √ 因为x>0，y>0,2x＋8y＝xy， 所以当x＋y取得最小值时，y＝6. 2.已知函数f(x)＝ (x<－1)，则 A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值－4 C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值－4 √ 因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0， 故f(x)有最小值4. 思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法. 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝ ＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为___. 4 令x－1＝m,2y－1＝n， 则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1， 例4　(1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为 题型二 基本不等式的常见变形应用 √ 在Rt△OCF中，由勾股定理可得， ∵CF≥OF， √ 对于选项A，因为0<a<1，b>1， 所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选