第三章 §3.5　利用导数研究恒(能)成立问题-2023高考数学【步步高】大一轮复习讲义（新教材人教A版 课件）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙晋皖黑吉云

第三章 §3.5　利用导数研究恒(能)成立问题 1 题型一 分离参数求参数范围 例1　(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ ax2＋ax(a∈R). (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； 当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex， f(0)＝(0－2)e0＝－2， f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1， 所以切线方程为y＋2＝－(x－0)， 即x＋y＋2＝0. (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 方法一　当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－ ax2＋ax≥0恒成立. 当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R. 因为x>2，所以g′(x)>0， 所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增. 所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2. 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]. 方法二　f′(x)＝(x－1)(ex－a)， ①当a≤0时，因为x≥2， 所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0， 则f(x)在[2，＋∞)上单调递增， f(x)≥f(2)＝0成立. ②当0<a≤e2时，f′(x)≥0， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(2)＝0成立. ③当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f′(x)<0； 在区间(ln a，＋∞)上，f′(x)>0， 所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合题意.综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]. (2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝ －(m＋1)x＋mln x＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数. (1)讨论f(x)的单调性； 教师备选 ①当m≤0，x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增. ②当0<m<1，x∈(0，m)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(m,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增. ③当m＝1，x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0，f(x)单调递增. ④当m>1，x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增. (2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围. 由题意知xf′(x)－f(x)≥0恒成立， 当0<x<1时，g′(x)<0， g(x)单调递减且g(x)<0， 综上知0≤m≤e. 思维升华 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 跟踪训练1　已知函数f(x)＝xln x(x>0). (1)求函数f(x)的极值； 由f(x)＝xln x，得f′(x)＝1＋ln x， (2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤ 成立，求实数m的最小值. 由g′(x)>0，得x>1； 由g′(x)<0，得0<x<1. 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 所以g(x)min＝g(1)＝4，则m≥4. 故m的最小值为4. 题型二 等价转化求参数范围 例2　已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R). (1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值； ∴f′(1)＝2－a＝3， ∴a＝－1， 经检验a＝－1满足题意，∴a＝－1， (2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围. f(x)≥ln x－a＋1可化为 ex－1－ax＋a－1≥0，x>0， 令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1， 则当x∈[1，＋∞)时，φ(x)min≥0， ∵φ′(x)＝ex－1－a， ∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(1)＝1－a＋a－1＝0≥0恒成立， 当x∈(0，ln a＋1)时，φ′(x)<0， 当x∈(ln a＋1，＋∞)时，φ′(x)>0， ∴φ(x)在(0，ln a＋1)上单调递减， 在(ln a＋1，＋∞)上单调递增. φ(x)min＝φ(1)＝0≥0恒成立， 当ln a＋1>1，即a>1时，φ(x)在[1，ln a＋1)上单调递减，在(ln a＋1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(ln a＋1)<φ(1)＝0与φ(x)≥0矛盾.故a>1不符合