第三章 §3.4　函数中的构造问题　培优课-2023高考数学【步步高】大一轮复习讲义（新教材人教A版 课件）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙晋皖黑吉云

第三章 §3.4　函数中的构造问题　培优课 1 例1　(2022·湘豫名校联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x>0时，f′(x)－ >0，若a＝2f(1)，b＝f(2)，c＝  ，则a，b，c的大小关系是 A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 题型一 导数型构造函数 命题点1　利用f(x)与x构造 √ 思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ . 跟踪训练1　设f(x)为定义在R上的奇函数，f(－3)＝0.当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导函数，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 A.(－∞，－3)∪(0,3) B.(－3,0)∪(3，＋∞) C.(－3,0)∪(0,3) D.(－∞，－3)∪(3，＋∞) √ 令g(x)＝x2f(x)，x∈R， 当x>0时，g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x) ＝x[xf′(x)＋2f(x)]>0， 即g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(x)为R上的奇函数， 即f(－x)＝－f(x)， 于是得g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－g(x)， 则g(x)是奇函数，g(x)在(－∞，0)上单调递增， 又f(－3)＝0， 则g(3)＝－g(－3)＝－[(－3)2f(－3)]＝0， 当x>0时，f(x)>0⇔g(x)>0＝g(3)，得x>3， 当x<0时，f(x)>0⇔g(x)>0＝g(－3)， 得－3<x<0， 综上，得－3<x<0或x>3，所以使f(x)>0成立的x的取值范围是(－3,0)∪(3，＋∞). 例2　(多选)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则 A.f(2)<e2f(0) B.f(2)>e2f(0) C.e2f(－1)>f(1) D.e2f(－1)<f(1) 命题点2　利用f(x)与ex构造 √ √ 思维升华 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ . 跟踪训练2　若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋2f(x)>0，且f(0)＝1，则不等式f(x)> 的解集为__________. (0，＋∞) 构造F(x)＝f(x)·e2x， ∴F′(x)＝f′(x)·e2x＋f(x)·2e2x ＝e2x[f′(x)＋2f(x)]>0， ∴F(x)在R上单调递增， 且F(0)＝f(0)·e0＝1， 即F(x)>F(0)，∴x>0， ∴原不等式的解集为(0，＋∞). 命题点3　利用f(x)与sin x、cos x构造 √ √ 思维升华 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； 思维升华 F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； a<b 设φ(x)＝f(x)·sin x， 则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x， ∴x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0， 即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数， 例4　(1)若存在x，y∈(0，＋∞)使得xln(2ax)＋y＝xln y，则实数a的最大值为 题型二 同构法构造函数 √ 由xln(2ax)＋y＝xln y， 当0<t<1时，g′(t)>0，当t>1时，g′(t)<0， 所以g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以当t＝1时， g(t)取得极大值即最大值g(1)＝－1， 因为当t→0时，g(t)→－∞， 所以g(t)∈(－∞，－1]， √ 由题意，原不等式可变形为 即 ≤xa－ln xa，设f(x)＝x－ln x， 则当x≥e时， ≤f(xa)恒成立， 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 因为x≥e，a>0，所以 >1，xa>1， 因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 令h(x)＝xln x(x∈[e，＋∞))， 因为h′(x)＝ln x＋1>0， 所以要使 ≤f(xa)，只需 ≤xa， 所以h(x)在[e，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(e)＝e， 思维升华 跟踪训练4　(1)(多选)(2022·常州模拟)若0<x1<x2<1，则下列不等式成立的是 A. B. C. >l