第三章 §3.3　导数与函数的极值、最值-2023高考数学【步步高】大一轮复习讲义（新教材人教A版 课件）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙晋皖黑吉云

第三章 §3.3　导数与函数的极值、最值 1 考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 2 落实主干知识 课时精练 探究核心题型 内容 索引 LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识 4 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)>0 f′(x)<0 知识梳理 5 (3)极小值点、极大值点统称为　　　，极小值和极大值统称为　　. 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　　　　的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的　　； ②将函数y＝f(x)的各极值与　　　　　　　　　　　　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 极值点 极值 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) 6 常用 结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 7 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(　　) (2)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值.(　　) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点.(　　) × × × √ 思考辨析 1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 教材改编题 f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0， √ 10 3.若函数f(x)＝ x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____. f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0， 当x∈(2,3]时，f′(x)>0， 所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增. 又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m. 所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4. 4 11 TANJIUHEXINTIXING 探究核心题型 12 例1　(2022·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A.函数f(x)有极大值f(－3)和f(3) B.函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3) D.函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3) √ 题型一 利用导数求函数的极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 由题图知，当x∈(－∞，－3)时， y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减. 所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3). 例2　已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； 命题点2　求已知函数的极值 又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0， (2)求函数f(x)的极值. 当a≤0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 因此f(x)无极大值与极小值； 当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a， 所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增， 令f′(x)<0，则x<ln a， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减