第三章 §3.2　导数与函数的单调性-2023高考数学【步步高】大一轮复习讲义（新教材人教A版 课件）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙晋皖黑吉云

第三章 §3.2　导数与函数的单调性 1 考试要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过 三次). 2 落实主干知识 探究核心题型 内容 索引 课时精练 3 LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识 4 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________ f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________ 单调递增 单调递减 常数函数 知识梳理 5 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 ； 第2步，求出导数f′(x)的 ； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 定义域 零点 6 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解. 常用 结论 7 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增. (　　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　) √ × √ √ 思考辨析 1.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是 √ 教材改编题 由f′(x)的图象知， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0， ∴f(x)单调递增； 当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减； 当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)单调递增. 2.函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为__________. f(x)的定义域为R， f′(x)＝(x－1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝1， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0， ∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞). (1，＋∞) 11 －4 f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]， ∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4. 12 TANJIUHEXINTIXING 探究核心题型 13 例1　(1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 A.(0,1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－1,1) 题型一 不含参数的函数的单调性 √ 令f′(x)＝0，得x＝1， ∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增. (1，＋∞) f(x)的定义域为(0，＋∞)， φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0， ∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. A.(0,2) B.(－∞，0)∪(2，＋∞) C.(－2,0) D.(－∞，－2)∪(0，＋∞) 教师备选 √ 令g′(x)>0，解得0<x<2， ∴函数g(x)的单调递增区间为(0,2). 思维升华 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 跟踪训练1　(1)已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的 单调递增区间为_______________. f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π). (2)函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为______________________，单调递减区间为________. (－∞，0)，(ln 2，＋∞) (0，ln 2) f(x)的定义域为R， f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)， 令f′(x)＝0，得x