第二章 §2.9　函数的零点与方程的解-2023高考数学【步步高】大一轮复习讲义（新教材人教A版 课件）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙晋皖黑吉云

第二章 §2.9　函数的零点与方程的解 1 考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 2 落实主干知识 探究核心题型 内容 索引 课时精练 LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识 4 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点. f(x)＝0 零点 x轴 知识梳理 5 (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f(a)f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 f(a)f(b)<0 一分为二 零点 6 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点.(　　) × × × √ 思考辨析 1.(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为 A.(1,2) 　　B.(2,3) 　　C.(5,6) 　　D.(5,7) √ √ √ 教材改编题 由所给的函数值表知， f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0， f(5)f(7)<0， ∴f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点. x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 2.已知函数f(x)＝　　　　　　　　则f(x)的零点为________. －2，e 解得x＝－2或x＝e. 10 3.方程2x＋x＝k在(1,2)内有解，则实数k的取值范围是______. (3,6) 设f(x)＝2x＋x， ∴f(x)在(1,2)上单调递增， 又f(1)＝3，f(2)＝6， ∴3<k<6. 11 TANJIUHEXINTIXING 探究核心题型 12 例1　(1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点 A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2) 题型一 函数零点所在区间的判定 √ √ f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0， f(2)＝e2－4>0， 因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0， 所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点. (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间 A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内 √ 函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0， 因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0. 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0， 即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点. 教师备选 √ f(x)的定义域为{x|x>0}， 令f′(x)>0⇒x>3，f′(x)<0⇒0<x<3， ∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是