第二章 §2.7　对数与对数函数-2023高考数学【步步高】大一轮复习讲义（新教材人教A版 课件）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙晋皖黑吉云

第二章 §2.7　对数与对数函数 1 考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与 特殊点. 3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数. 2 落实主干知识 探究核心题型 内容 索引 课时精练 LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识 4 1.对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中___叫做对数的底数，___叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数，记作____. 以e为底的对数叫做自然对数，记作_____. x＝logaN a N lg N ln N 知识梳理 5 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝___，logaa＝ ， ＝___(a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝____________； ②loga ＝_____________； ③logaMn＝_______(n∈R). (3)换底公式：logab＝ (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 0 N logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 1 6 y＝logax a>1 0<a<1 图象     定义域 _________ 值域 ____ 3.对数函数的图象与性质 (0，＋∞) R 7 性质 过定点_____，即x＝1时，y＝0 当x>1时，_____； 当0<x<1时， _____ 当x>1时，_____； 当0<x<1时， _____ 在(0，＋∞)上是_______ 在(0，＋∞)上是_______ y>0 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 (1,0) 8 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数_________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称. y＝logax y＝x 9 2.如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 常用 结论 10 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　 　) (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　 　) (3)函数y＝loga 与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数.(　 　) (4)函数y＝log2x与y＝ 的图象重合.(　 　) × × √ × 思考辨析 ∵loga1＝0， 令x－2＝1，∴x＝3， ∴y＝loga1＋2＝2， ∴原函数的图象恒过定点(3,2). 1.函数y＝loga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 . (3,2) 教材改编题 2.计算：(log29)·(log34)＝ . 4 13 3.若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝ . 当a>1时，loga4－loga2＝loga2＝1， ∴a＝2； 当0<a<1时，loga2－loga4＝－loga2＝1， 14 TANJIUHEXINTIXING 探究核心题型 15 例1 　(1)设2a＝5b＝m，且 ＝2，则m等于 A. B.10 C.20 D.100 题型一 对数式的运算 √ 2a＝5b＝m， ∴log2m＝a，log5m＝b， ＝logm10＝2， ∴m2＝10， 2 ＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 教师备选 1 思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba， 所以b2b＝ ，即2b＝b2， 又a>b>1，解得b＝2，a＝4. 所以a＋b＝6. 跟踪训练1　(1)已知a>b>1，若logab＋logba＝ ，ab＝ba，则a＋b＝ . 6 (2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ . 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋l