第二章 §2.3　函数的奇偶性、周期性与对称性-2023高考数学【步步高】大一轮复习讲义（新教材人教A版 课件）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙晋皖黑吉云

第二章 §2.3　函数的奇偶性、周期性与对称性 1 考试要求 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 2 落实主干知识 探究核心题型 内容 索引 课时精练 LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识 4 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且___________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于____对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_____对称 1.函数的奇偶性 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 知识梳理 5 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期. f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 6 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). 常用 结论 7 常用 结论 3.函数对称性常用结论 (1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称. 8 常用 结论 (3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称. 9 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　) (2)若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)g(x)为奇函数.(　　) (3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期.(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　) × × √ √ 思考辨析 1.下列函数中为偶函数的是 A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2－x √ 教材改编题 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数； B选项为偶函数； C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性； D选项既不是奇函数，也不是偶函数. 2.若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2 023) ＝___. ∵f(x)的周期为2， 13 3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______________. (－2,0)∪(2,5] 14 由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0； 当2<x≤5时，f(x)<0， 又f(x)是奇函数， ∴当－2<x<0时，f(x)<0， 当－5≤x＜－2时，f(x)>0. 综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]. TANJIUHEXINTIXING 探究核心题型 16 例1 　判断下列函数的奇偶性： 题型一 函数的奇偶性 命题点1　判断函数的奇偶性 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立， ∴函数f(x)为奇函数. 显然函数f(x)的定义域为R， 故f(x)为奇函数. 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 例2　(1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为 A.－2 B.0 C.2 D.4 命题点2　函数奇偶性的应用 √ 依题意，令g