第二章 §2.2　函数的单调性与最值-2023高考数学【步步高】大一轮复习讲义（新教材人教A版 课件）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙晋皖黑吉云

第二章 §2.2　函数的单调性与最值 1 考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用. 2 落实主干知识 探究核心题型 内容 索引 课时精练 LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识 4   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有_________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 知识梳理 5 图象描述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 6 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 单调递增 单调递减 7 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I， 都有________； (2)∃x0∈I， 使得_________ (1)∀x∈I， 都有_________； (2)∃x0∈I， 使得_________ 结论 M为最大值 M为最小值 2.函数的最值 f(x)≤M f(x)≥M f(x0)＝M f(x0)＝M 8 2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数. 常用 结论 9 常用 结论 4.复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减. 10 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若f(x)的定义域为R，且f(－3)<f(2)，则f(x)为R上的增函数.(　 ) (2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3).(　 ) (3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数.(　　) (4)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) × × × × 思考辨析 1.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是 A.y＝|x＋1| B.y＝2－x C.y＝ D.y＝x2－x＋1 √ 教材改编题 2.函数y＝ 在区间[2,3]上的最大值是____. 2 13 3.函数y＝ 在(－∞，1)上为增函数，则实数a的取值范围是__________. (－∞，0) 14 TANJIUHEXINTIXING 探究核心题型 15 例1 　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是 A.y＝ex－e－x B.y＝|x2－2x| C.y＝x＋cos x D.y＝ √ 题型一 确定函数的单调性 命题点1　求具体函数的单调区间 √ ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确； 对于选项C，y′＝1－sin x≥0， ∴y＝x＋cos x在R上为增函数，故C正确； 例2 　试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性. 命题点2　判断或证明函数的单调性 方法一　设－1<x1<x2<1， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 1.设函数f(x)＝ g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是 ______. 教师备选 [0,1) 方法一　(定义法)设x1>x2>0， ∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0， ∴x1x2－a<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， ∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)， 方法二　(导数法) 思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法. 跟踪训练1　(1)函数f(x