5.3 导数在研究函数中的应用

5.3 导数在研究函数中的应用 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5．3．1函数的单调性 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1）； （2），； （3）． 解：（1）因为，所以 ． 所以，函数在R上单调递减，如图5.3-4（1）所示． （1） （2） （3） 图5.3-4 （2）因为，，所以 ． 所以，函数在上单调递减，如图5.3-4（2）所示． （3）因为，，所以 ． 所以，函数在区间和上单调递增，如图5.3-4（3）所示． 例2 已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时，． 试画出函数图象的大致形状． 解：当时，，可知在区间上单调递增； 当，或时，，可知在区间和上都单调递减； 当，或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数图象的大致形状如图5.3-5所示． 图5.3-5 练习 1．判断下列函数的单调性： （1）；         （2） 2．利用导数讨论二次函数的单调区间． 3．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状． 例3 求函数的单调区间． 解：函数的定义域为R．对求导数，得 ． 令，解得 ，或． 和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示． 表5.3-1 所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图5.3-6所示． 图5.3-6 例4 设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断，的图象与，之间的对应关系． 图5.3-8 解：因为，，所以 ，． 当时，； 当时，； 当时，． 所以，，在上都是增函数．在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”． 所以，，的图象依次是图5.3-8中的，． 练习 4．判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1）；     （2）． 5．证明函数在区间上单调递减． 6．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状． 5．3．2函数的极值与最大（小）值 例5 求函数的极值． 解：因为，所以 ． 令，解得，或． 当x变化时，，的变化情况如表5.3-2所示； 表5.3-2 因此，当时，有极大值，并且极大值为