5.1 导数的概念及其意义

5.1 导数的概念及其意义 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5．1．1变化率的问题练习 1．求问题1中高台跳水运动员在时的瞬时速度． 1．火箭发射后，其高度（单位：m）为．求： （1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第时，火箭爬高的瞬时速度． 2．一个小球从的高处自由下落，其运动方程为，求时小球的瞬时速度． 练习 3．你认为应该怎样定义抛物线在点处的切线？试求抛物线在点处切线的斜率． 4．求抛物线在点处的切线方程． 5．1．2导数的概念及其几何意义练习 例1 设，求． 解：． 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和． 根据导数的定义， ， 所以 ． 同理可得 ． 在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为与．说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以的速率上升． 一般地，反映了原油温度在时刻入附近的变化情况． 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义． 分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为，． 解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是和． 根据导数的定义， ， 所以 ． 同理可得 ． 在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是与．说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少． 1．在例2中，计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 5．设，求． 6．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，求质点A在时的瞬时速度． 7．设函数求： （1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率； （2）函数在处的导数． 例4 图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象根据图象，请描述、比较曲线在，，附近的变化情况． 图5.1-6 解：我们用曲线从在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况． （1）当时，曲