专题2.3 幂函数（5类必考点）-2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列（北师大版2019必修第一册）

专题2.3 幂函数 【考点1：幂函数的解析式或函数值】 1 【考点2：幂函数的定义域、值域】 3 【考点3：幂函数的图象】 6 【考点4：幂函数的单调性】 9 【考点5：幂函数的奇偶性】 13 【考点1：幂函数的解析式或函数值】 【知识点：幂函数的概念】 形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数．对于幂函数，只讨论α＝1，2，3，，－1时的情形． 1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知为幂函数， 且， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数及求其解析式，进而求. 【详解】因为为幂函数， 设，则， 所以，可得，则. 故选：B 2．（2022·全国·高一单元测试）若函数的图象经过点，则（　　） A． B．3 C．9 D．8 【答案】B 【分析】将代入函数解析式，即可求出，即可得解函数解析式，再代入求值即可. 【详解】解：由题意知，所以，即， 所以，所以，所以. 故选：B 3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】 【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解. 【详解】设， 由的图象过点，可得，解得 ，故. 故答案为：. 4．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设幂函数，由幂函数的图象经过点，知，由此能求出这个幂函数的解析式． 【详解】设幂函数， ∵幂函数的图象经过点， ∴，∴， ∴这个幂函数的解析式为． 故答案为：． 5．（2021·上海市控江中学高一期中）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______; 【答案】或1 【分析】根据幂函数的定义可得，解方程即可. 【详解】解：因为函数为幂函数，则， 即，解得或. 故答案为：或1. 【考点2：幂函数的定义域、值域】 【知识点：幂函数的定义域、值域】 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域. 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，则， 故的定义域为． 故选：C 2．（2023·全国·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项，则有： 对选项，则有： 对选项，定义域为： 对选项，则有： 故答案选： 3．（2021·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同. 故选：D 4．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是的幂函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可． 【详解】由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D； 对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，满足条件； 对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又，所以值域为，不满足条件； 故选：A 5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 6．（2022·江西·金溪一中高二期末（文））已知幂函数的定义域为，则实数______． 【答案】1 【分析】由幂函数的定义列出方程，求出或，通过检验定义域可知满足要求. 【详解】由题意得到，解得：或， 当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意． 故． 故答案为：1 7．（2022·全国·高一课时练习）（1）函数的定义域是________，值域是________； （2）函数的定义域是________，值域