专题1.11 三角函数的应用——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.11 三角函数的应用——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题 （知识讲解） 【学习目标】 1. 理解用三角函数解决实际问题的有关概念； 2. 理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。 【要点梳理】 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 　　解这类问题的一般过程是： 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　拓展： 　　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 特别说明： 　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 　　　　　　 　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【典型例题】 类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题 1． 在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】该建筑物的高度约为31.9m 【分析】如图，作交于点E，作交于点F，作交于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据即可求解． 解：作交于点E，作交于点F，作交于点H 则，， ∵ ∴设，则 在中， ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴， ∴， 设，则 在中， ∵ ∴ 在中， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ 答：该建筑物的高度约为31.9m． 【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 举一反三： 【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)9m(2)24m 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案． （2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案． （1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，，， ． ． 答：，两点的高度差为． （2）过点作于， 由题意可得，， 设， 在中，， 解得， 在中，，， ， 解得， ． 答：居民楼的高度约为． 【点拨】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°． 科学计算器按键顺序 计算结果 （已取近似值） 0.156 0.158 0.276