专题1.9 三角函数的应用——锐角三角函数关系（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.9 三角函数的应用——锐角三角函数关系 （知识讲解） 【学习目标】 会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　　(1)互余关系：，； 　　(2)平方关系：； 　　(3)倒数关系：或； 　　(4)商数关系：． 　　要点诠释： 　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【典型例题】 类型一、求证同角三角函数关系式 1．①sin2A+cos2A=________，②tanA•cotA=________． 【答案】     1     1 解：如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为， 则sinA= ，cosA=，tanA=，cotA=，， ∴（1）sin2A+cos2A=； （2）tanA•cotA=. 【点拨】解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案. 举一反三： 【变式1】下列结论中（其中，均为锐角），正确的是___________．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 【变式2】已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律________． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 解：根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点拨】本题考点：同角三角函数的关系. 类型二、利用同角三角函数关系求值 2．已知，求的值． 【答案】 【分析】首先根据同角的三角函数关系进行变形，得到，然后对原式进行替换求解即可． 解：∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查同角的三角函数关系，锐角三角函数的混合运算，理解基本定义，熟练运用整体代入思想是解题关键． 举一反三： 【变式1】计算： （1）；  （2）． 【答案】（1）；（2）2. 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可； (2)根据直角三角形中tanA=，sin2A+cos2A=1，sinA=cosB计算. 解：原式； 原式 . 故答案为（1）；（2）2. 【点拨】本题考查了三角函数值的计算. 【变式2】求证：若为锐角，则．要求： (1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． (2)根据（1）中所画图形证明该命题． 【答案】(1)见分析(2)见分析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． （1）解：如图，即为所求． （2）证明：， ， ，， ． 【点拨】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 类型三、互余两角的三角函数的关系 3． 如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果sinA＝，求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）先求证，得到，再根据，即可求证； （2）根据三角函数的定义以及关系，求得的值，即可求解． 解：（1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高 ∴ 又∵ ∴ ∴，即 又∵ ∴ （2）在，， 由锐角三角函数关系可得：，即 由（1）得， ∴ 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键． 举一反三： 【变式1】在中，，与有什么关系？ 【答案】 【分析】利用锐角三角函数关系得出，，进而求出即可． 解：在中，， ∴，， ∴， 答：． 【点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，解题的关键是正确记忆一个角的正弦等于它余角的余弦． 【变式2】已知△ABC中，∠A＝90°，sinB和cosC是方程9x2－mx＋1＝0的两个根，m=_________． 【答案】 【分析】根据中，，可得，即有,则方程有两个相等的实数根，是一个完全平方式，据此求解即可． 解：中，， ∴ ∴, 则方程有两个相等的实数根， ∴是一个完全平方式， ∴ ∴， ∴， 故答案是：． 【点拨】本题考查了锐角三角函数的性质，完全平方公式的应