专题1.4 特殊角及三角函数的计算（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.4 特殊角及三角函数的计算（知识讲解） 【学习目标】 1. 会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 2. 会进行有关三角函数的计算。 【要点梳理】 要点一、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 特别说明： 　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　 　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 要点二、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　　(1) 互余关系： ， ； 　　(2) 平方关系：； 　　(3) 倒数关系：或； 　　(4) 商数关系：． 　　特别说明： 　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【典型例题】 类型一、特殊角三角函数计算 1． 计算：(1)sin230°+sin60°-sin245°+cos230°； (2). 【答案】(1)+；(2). 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）将特殊角的三角函数值代入求解． 特殊值：sin 30° = ；sin 60° = ；sin 45° = ；cos 30° = ；tan 60° = ；tan 45° = 1 解：(1)原式=-+ = + ； (2)原式= =. 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 举一反三： 【变式1】计算：﹣sin45°•tan45° 【答案】 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 解：﹣sin45°•tan45° ． 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及分母有理化、二次根式的化简，牢记特殊角的三角函数值，是解决本题的关键． 【变式2】计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣tan45° 【答案】- 【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案． 解：原式=2×﹣+﹣×1 =- 【点拨】此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键． 类型二、特殊角三角函数计算 2．计算： 【答案】-2 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别代入化简即可． 解：原式＝ =-2 【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 举一反三： 【变式1】计算：． 【答案】-2 试题分析：分别计算(2014-)0=1，=2﹣，再用实数的混合运算法则计算. 解：原式=3×﹣1+2﹣﹣3=﹣2. 【变式2】计算：． 【答案】3 试题分析：用完全平方公式、平方差公式去括号，计算出特殊角三角函数值，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可. 解：(－1)2+3tan30°－(－2)(+2)+2sin60° =4－2+3×－(5－4)+2× =4－2+－1+ =3.   【点拨】掌握二次根式的加减乘除运算法则. 类型三、三角函数计算 3． 已知为锐角，且，则______． 【答案】 【分析】计算，并结合是个锐角，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴ 故答案是：60° 【点拨】本题主要考察计算和锐角三角函数与角度关系，属于基础的计算题，难度不大．解题的关键是结合角度范围确定三角函数值范围． 举一反三： 【变式1】已知矩形的周长为，对角线，求与的度数． 【答案】，或，． 【分析】设AB=x,将BC表示出来，再利用勾股定理可求出x=1或x=,再利用三角函数求出一个角为30°，另一个角为60°. 解：∵矩形的周长为， ∴AB+BC= +1, ∵对角线AC=2, ∴设AB=x,则BC=+1-x, ∵AB2+BA2=AC2, ∴x2+(+1-x)2=22, 解得：x1=1,x2=, ∴当AB=1,则BC=, ∴tan∠BAC=, ∴∠BAC=60°,∠DAC=30°, 当AB=,则BC=1, ∴tan∠BAC= , ∴∠BAC=30°,∠DAC=60°, 故，或，． 【点拨】此题主要考查了勾股定理和特殊角的三角函数值，解答本题的