专题1.1 锐角三角函数（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.1 锐角三角函数（知识讲解） 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 特别说明： 　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． 　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． 　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． 　　(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． 要点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 特别说明： 　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　 　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 【典型例题】 类型一、正弦、余弦、正切概念的理解 1．在Rt△ABC中，∠C＝，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA． 【答案】sinA=，cosA=，tanA= 【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数的定义解答． 解：∵Rt△ABC中，∠C=，若AB=13，BC=5， ∴AC=12， ∴sinA=； cosA=； tanA= 【点拨】本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握锐角三角函数的意义和勾股定理的应用是解题关键． 举一反三： 【变式1】在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？ 【答案】当确定时，正弦值确定，余弦值确定，正切值确定． 【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，可得答案． 解：在中，．当确定时，它的正弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与斜边的比值是不变的； 在中，．当确定时，它的余弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，邻边与斜边的比值是不变的． 在中，．当确定时，它的正切值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与邻边的比值是不变的． 【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键． 【变式2】如图，在中，， （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点．（保留痕迹，不写作法） （2）在（1）的作图下，试求的值（结果保留根号） 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可； （2）由垂直平分线的性质求出，设，，在三角形中利用三角函数即可求解． 解：（1）作图如下， （2）根据垂直平分线的性质知， ，， 在三角形中， 设， ∴， ∴， ∴在三角形中， ， ∴． 【点拨】本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 类型二、求正弦、余弦、正切的值 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α． (1)求sinα、cosα、tanα的值； (2)若∠B=∠CAD，求BD的长． 【答案】（1）sinα=，cosα=，tanα=；（2）BD =3． 【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解． （2）由∠B＝∠CAD＝α和（1）求得的tanα，根据直角三角形锐角三角函数求出BC，从而求出BD的长． 解：在Rt△ACD中， ∵AC=2，DC=1， ∴AD==． （1）