专题14 圆锥曲线中的直线问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题14 圆锥曲线中的直线问题 一、真题剖析 【2022年全国甲卷】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以抛物线为载体，考查考生对直线与抛物线的位置关系的综合性应用，侧重于对直线倾斜角的考查。 【必备知识】本题考查直线与椭圆位置关系、线段为定值的问题。 【能力素养】本题考查逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系. 【解析】抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； (2)设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为， 所以， 若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. 二、题型选讲 题型一 圆锥曲线中的线段的关系 例1、（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知抛物线C：，圆O：. (1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求； (2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求的最小值及相应p的值. 【答案】(1) (2)最小值为， 【解析】 【分析】 （1）由得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出，最后由抛物线定义得出； （2）由导数的几何意义得出切线l的方程，由点到切线的距离等于结合勾股定理得出，再由基本不等式得出的最小值及相应p的值. (1) 由题意，得，从而C：. 解方程组，整理得，，解得 所以. (2) 设，由得，故切线l的方程为， 注意到，故整理得 由且，即点到切线的距离等于得 所以， 整理，得且， 所以 ， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为，此时. 变式1、（2022·江苏无锡·高三期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）列出关于的方程组，解方程组即得解； （2）设直线的方程为，其中，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再对分类讨论，利用函数的单调性求出函数的取值范围. (1) 解：由题意知，椭圆标准方程为. (2) 解：设直线的方程为，其中，， ，， ， ，， 若，则，， 若，则， 令，，， 因为在单调递减， 所以 综上：的取值范围为 题型二 圆锥曲线中直线的斜率问题 例2、【2021年乙卷文科】已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【解析】 【分析】 （1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解； （2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】 （1）抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为； （2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 设，则， 所以， 由在抛物线上可得，即， 据此整理可得点的轨迹方程为， 所以直线的斜率， 当时，； 当时，， 当时，因为， 此时，当且仅当，即时，等号成立； 当时，； 综上，直线的斜率的最大值为. [方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法 同方法一得到点Q的轨迹方程为． 设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为． 变式1、（2022·山西·太原五中二模（文））已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和，记得到的平行四边形的面积为． (1)设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明； (2)请从①②两个问题中任选一个作答 ①设与的斜率之积，求面积的值． ②设与的斜率之积为．求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变． 【答案】(1)距离为，证明见解析； (2)见解析 【解析】 【分析】 （1）讨论和，分别写出直线的方程，由距离公式即可求得点到直线的距离，由面积公式即可证明； （2）若选①，设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合（1）中面积公式求解即可；若选②，设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合（1）中面积公式得到的表达式，平方整理，由含的项系数为0即可求解. (1) 当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为； 当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为，也满足， 则点到直线的距离为；因为， 则； (