专题06 幂函数与指数函数 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题06 幂函数与指数函数 （一）幂函数 1.幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 2.常见的5种幂函数的图象 3.常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 （二）指数函数 1.指数函数的图象和性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 题型一 幂函数的概念 【典例1】（2020·广东省高一期末）若函数是幂函数，则（ ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【解析】 因为函数是幂函数,所以, 解得或. 故选:C 【典例2】（2022·江苏徐州·高一期末）若幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】设，利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可； 【详解】解：设，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，所以； 故选：C 【典例3】（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】 【解析】 先求，再根据奇函数求 【详解】 ，因为为奇函数，所以 故答案为： 【特别警示】 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数， 题型二 幂函数的图象和性质 【典例4】（2022·江苏·高一）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质以及图象的特点即可得､的大小关系，进而可得正确选项. 【详解】和在上单调递增，所以，， 当时，图象在上方，所以， 当时，图象在下方，所以， 所以， 故选：A. 【典例5】（2022·江苏泰州·高一期末）若幂函数在区间上是减函数，则整数________． 【答案】2 【分析】由题意可得，求出的取值范围，从而可出整数的值 【详解】因为幂函数在区间上是减函数， 所以，解得， 因为， 所以， 故答案为：2 【典例6】（2021·江苏·高一专题练习）下列命题中， ①幂函数的图象不可能在第四象限； ②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线； ③当α>0时，幂函数y＝xα是增函数； ④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 其中正确的序号为________． 【答案】①④ 【分析】根据幂函数的定义与性质判断． 【详解】时，，因此①正确； 当α＝0时，是直线y＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误； 当α>0时，幂函数y＝xα仅在第一象限是递增的，如y＝x2，故③错误； 当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内是减函数，④正确． 故答案为：①④． 【规律方法】 幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可． 题型三 幂函数图象和性质的应用 【典例7】（2021·江苏·高一单元测试）已知幂函数是增函数，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2或 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案. 【详解】幂函数是增函数， 所以，解得，或， 当时，则是增函数， 当时，不是增函数，∴. 故选：A． 【典例8】（2020·黑龙江省铁人中学高二期中（文））已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（ ） A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．无法判断 【答案】C 【解析】 函数是幂函数，则，解得或. 当时，，在上为减函数，排除； 当时，，在上为增函数，满足； ，函数为奇函数，故在上单调递减. ，故，，故. 故选：. 【典例9】（2021·江苏·高一课时练习）