12.3 角的平分线的性质-2022-2023学年八年级上册初二数学【导与练】初中同步练案（人教版）

,AD∥BC,∴.∠DAF=∠F, 10.8cm或15cm解析：①当点P运动到 8.(1)证明：如图所示，过点P作PD ∴.∠CDE=90°-35=55° /BAF...BF=AB=10 AP=BC时，如图①所示 BC千占D ∴.∠CDA=110 =4.∴.BC=6. 在Rt△ABC和Rt△QPA中 :∠ABC和∠ACB的平分线相交于点 ∠B ∠C=90° D素养培优练 AB=QP. P,且PE⊥AB,PF⊥AC, ,.DC∥AB, 12,（)证明：PELBF, BC=PA. .PD=PE.PD=PE.:.PE=PE. ∴.∠CDA+∠DAB=180°. PEB=PEF=90 .Rt△ABC≌Rt△QPA(HL) (2)解：PE=PF,PE⊥AB,PF ∴∠DAB=70° 在△PEB和△PEF中， 色动到与点C重合时，中 IAC. ∴.∠EAB=35 '∠BPE= ∠FPE. ∴，AP平分∠BAC 15.(1)证明：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于点E. PE= PE 所示： ∠BAC=60° ..DE= DC ∠PEB=∠PEF 在Rt△ABC和Rt△PQA中 ∠EAP=2∠BAC=号×60°=30 在Rt△CDF和Rt△EDB中， ∴△PEB≌△PEF(ASA), AB=PQ. (DF=DB. ..PB=PF AC=PA. D能力提升练 DC=DE .·PB=CO.,.PF=CO '.Rt△ABC≌Rt△PQA(HL) 9.B ∴，Rt△CDF≌Rt△EDB(HI), (2)解：DE=BE+CD.理由如下： ∴.AP=AC=15cm. 10.D解析：如图所示，作直线1，'， CE=EB 由(1)知△PEB2△PEF, ∠B=∠PFE 综上所述，AP的长是8cm或15cm时，△ABC和△APQ 所围成的三角形的外角平分线和内 (2)解：设CF=x,则AC=8十x,AE-12-x AB=AC.B-/ACB. 全等」 角平分线，外角平分线相交于点P AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90° ∴.∠PFE=∠ACB.∴.∠PFD=∠QCD 11.解：BE⊥AC.理由如下： P2,P,内角平分线相交于点P,根 CD-DE 在△PDF和△QDC中 AD为△ABC的高， 据角平分线的性质可得到这四个点 在Rt△ACD和Rt△AED中 ∠PDF ZQDC ∴.∠ADC=∠ADB=90°， 到三条公路的距离相等.故选D. /AD=AD. ∠PFD=∠QCD, 即△BDF和△ADC均为直角三角形 I1A解：过点E作EF⊥AD于点F CD=DE. PF=OC (图略) .Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ∴△PDF≌△QDC(AAS),DF=CD. 在R△ADC和R△BDF中.S-. :AB⊥BC,AE平分∠BAD,∴.Rt△AEF≌Rt△AEB .AC=AE,即8+x=12-x, DE=DF+EF.BE=EF. RIADCRIABDECHL ,BE=EF,AB=AF,∠AEF=∠AEB: 解得x=2,即CF=2. ∴.DE=BE+CD. ∠CAD=∠FBD. 而点E是BC的中点，∴.EC=EF=BE,.③错误： D素养培优练 第4课时H :ZADC=90,∴∠C+∠CAD=90. ∴.Rt△EFD≌Rt△ECD, ∴.∠C+∠CBE=90. 16.(1)证明：PE∥AB,PF∥AC ·知识梳理 ∴.DC=DF,∠FDE=∠CDE,∴.②正确 EPD-/BAD.DPE-CAD ∠CEB=90°，即BE⊥AC AD=AF十FD=AB十DC,.④正确： 斜边 直角边 ,在△ABC中，AD是它的角平分线， 斜边、直角边H D素养培优练 1 ∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90° ∴.∠BAD ∠CAD. 。基础巩固练 12.(1)证明：，BD⊥DE,CE⊥DE ,'.EPD=DPF,即PD平分EPF, ∠ADB AEC=90 ①正确 ∴，点D到PE的距离与点D到PF的距离相等】 3.证明：DE⊥AC,BF⊥AC, 在Rt△ABD和Rt△CAE中， 故选A. (2)解：若点P在AD的延长线上，其他条件不变，(1)中的 .∠DEC=∠BFA=90°. LAB-CA. 12.6cm解析：如图所示，过点D作DE ⊥AC于点E,DF⊥AB于点E 结论还成立.证明如下： 在Rt△DEC和Rt△BFA中 AD=CE. ,PE∥AB,PF∥AC, DC=BA, ∴.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL) :AD平分∠BAC, ∴.∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD DE=BF. ·./DBA=/EAC .DE=DE ∴，Rt△DEC≌Rt△BFA(HL). ∠BAD+∠DBA=90 BD:DC=2:1 在△ABC中，AD是它的角平分线