专题03 解非直角三角形小题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题03 解非直角三角形小题 1．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（　　） A．4 B．3+ C．5 D．2+2 【答案】C 【分析】作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中，求出CD和AD的长，在Rt△BCD中，求出BD的长，即可求出AB的长. 【详解】作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中， ∵∠A=30°，AC=2， ∴CD=, ∴AD=. 在Rt△BCD中， ∵tanB=， ∴BD=2， ∴AB=AD+BD=3+2=5. 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理等知识才能解决问题. 2．小明和小丽两人一前一后放风筝，结果风筝在空中处纠缠在一起（如示意图）．若，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，则的正切值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点E作EA⊥MF于点A，得出MN=EN，AE=NA，sin45º=，进而将各边长用NE表示得出即可. 【详解】解：过点E作EA⊥MF于点A， ∵∠ENF=45º，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等， ∴MN=EN，AE=NA， ∵sin45º=， ∴AE=NE， ∴tan∠M====−1， ∴∠M的正切值为−1. 故选D. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用. 3．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是_____________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： ①△ABC为锐角三角形时，如图1． 作△ABC的高AD，BE为AC边的中线． ∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=， ∴CD=a，AD=a． ∵在直角△ABD中，∠ABD=45°， ∴BD=AD=a， ∴BC=BD+CD=a． 在△BCE中，由余弦定理，得 BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC ∴BE=； ②△ABC为钝角三角形时，如图2． 作△ABC的高AD，BE为AC边的中线． ∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=， ∴CD=a，AD=a． ∵在直角△ABD中，∠ABD=45°， ∴BD=AD=a， ∴BC=BD+CD=a． 在△BCE中，由余弦定理，得 BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC ∴BE=． 综上可知AC边上的中线长是或． 4．已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为____________． 【答案】8或24． 【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算即可． 【详解】解：如图2所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=4， ∵AD⊥BC，tanB=， ∴=， ∴AD=BD=， ∴S△ABC=BC•AD=×6×=8； 如图2所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=12， ∵AD⊥BC，tanB=， ∴=， ∴AD=BD=8， ∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24； 综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是要分情况讨论． 5．△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°则△ABC的面积是 ． 【答案】21或15． 【详解】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D， 在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°， ∴AD=AB=6，BD=ABcosB=12×=6， 在Rt△ACD中，CD==， ∴BC=BD+CD=6+=7， 则S△ABC=×BC×AD=×7×6=21； ②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D， 由①知，AD=6、BD=6、CD=， 则BC=BD﹣CD=5， ∴S△ABC=×BC×AD=×5×6=15， 故答案为21或15． 考点：解直角三角形． 6．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位长度到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是_____． 【答案】、5或． 【详解】试题分析：过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，如图所示． 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12， ∴BC=13，sin∠B=，cos∠B=． △ADE为等腰三角形分三种情况： ①当AB=AE时， BE=2BM，BM=AB•cos∠B=， 此时m=BE=； ②当AB=BE时， m=BE=AB=5； ③当B