专题01 网格中求正弦和余弦-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题01网格中求正弦和余弦 1．在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，的中点也在格点上，连接，先利用勾股定理可得，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后在中，根据正弦的定义可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，由题意可知，的中点也在格点上，连接， ， ， 是等腰直角三角形， （等腰三角形的三线合一）， ， ， 又， ， ，即， ， 在中，， 则， 即的正弦值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 2．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过C作CD⊥AB， 根据勾股定理得： AC=AB= = ， S△ABC=4---=， 即 CD•AB=，所以 CD =， 解得：CD= ， 则sin∠CAB== ， 故选B． 3．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BE、AE．根据格点先求出AB、AE、BE，再利用正方形对角线的性质判断CD与BE关系与△ABE的形状，最后求出∠ABE的余弦值． 【详解】解：如图，连接、． 则：，． 、、都是正方形的对角线， ． ，． ，是直角三角形． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 4．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到△ACD的形状，从而可以求得sin∠BAC的值． 【详解】解：连接CD，点D在格点上，如右图所示： 设每个小正方形的边长为a， 则CDa， ACa， AD2a， ∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形， ∴sin∠BAC＝sin∠CAD， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出△ACD的形状． 5．如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将∠ADC转化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函数值的定义求解即可． 【详解】延长CD交正方形的另一个顶点为E，连接BE，如下图所示： 由题意可知：∠BED=90°，∠ADC=∠BDE， 根据正方形小格的边长及勾股定理可得：BE=，BD=， ∴在Rt△BDE中，， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和求解正弦值，熟练地找到角所在的直角三角形，利用正弦函数值的定义进行求解，是解决本题的关键． 6．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解． 【详解】解：如图，作BD⊥AC于D， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键． 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 8．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案． 【详解】 解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA=90° ∵BC＝2， ∴S△ABC＝BC×4＝4， ∵AB＝＝4，S△ABC＝BA×CD ∴CD＝ ∵AC＝＝2， ∴在RtABC中, ∠CDA=90° sinA＝ =                   故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，正确作出辅助线构造∠