专题05 构造新图或用公式求函数值-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题05构造新图或用公式求函数值 1．折纸不仅可以帮助我们进行证明，还可以帮助我们进行计算．小明取了一张正方形纸片，按照如图所示的方法折叠（如图①②③）： 重新展开后得到如图所示的正方形ABCD（如图④），BD、BE、EF为前面折叠的折痕．小亮观察之后发现利用这个图形可以求出45°、22.5°等角的三角函数值．请你直接写出tan67.5°=_____． 【答案】 【分析】设EC=x，根据折叠的性质求出∠BEC=67.5°，DE=x，根据正切的概念计算即可． 【详解】设EC=x， 由折叠的性质可知，EF=EC=x，∠BFE=∠C=90°，∠BDC=45°，∠EBC=22.5°， ∴DE=EF=x，∠BEC=67.5°， ∴CD=x+x， 由正方形的性质可知，BC=CD=x+x， ∴tan67.5°=tan∠BEC== 故答案为 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键 2．阅读下面材料： 小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______ 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形如图，他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题于是小天尝试着在CB边上截取，连接如图，通过构造有特殊角的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：______． 参考小天思考问题的方法，解决问题： 如图3，在等腰 中，，，请借助，构造出的角，并求出该角的正切值． 【答案】,2-. 【分析】如图2，设，为等腰直角三角形，则，易得，所以，再在中，利用正切定义可计算出，即； 如图3，延长BA到D，使，则，则，利用三角形外角性质易得，作于H，设，利用含30度三边的关系得到，，则，，然后在中，利用正切的定义可计算出，即． 【详解】解：如图2，设，则， ，， ， ， ， ， 在中，， 即； 故答案为；； 如图3，延长BA到D，使，则， ， ， ， 作于H，设，则，， ， ， 在中，， 即． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形解决本题的关键是构建含度和15度的直角三角形． 二、解答题 3．在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）； (2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A； 小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： (3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值． 【答案】(1)，，≠ (2) (3) 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论； （2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论； （3）作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果． (1) 解：tan60°＝，tan30°＝， 发现结论：tanA≠2tan∠A 故答案为：，，≠； (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1， ∴AB==， 如图1，延长CA至D，使得DA=AB， ∴AD=AB=， ∴∠D=∠ABD， ∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+， ∴tan∠A=tan∠D=； (3) 如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE． 则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA= ∴BC=1，AB=，设AE=x，则EC=3-x， 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x=， 即AE=BE=，EC=， ∴tan2A=tan∠BEC=． 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角三角形中添加辅助线构造2∠A是解题的关键． 4．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． （1）初步尝试：我们知道：tan60°＝　 　，tan30°＝　 　，发现结论：tanA　 　2tan∠A（填“＝”或“≠”）； （2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接B