专题08 单调性应用：恒成立求参与解不等式-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题8 单调性应用：恒成立求参与解不等式 目录 【题型一】利用单调性定义求参 2 【题型二】单调性与对称轴求参 3 【题型三】单调性与中心对称求参 5 【题型四】抽象函数单调性求参 7 【题型五】 分段函数单调性求参 9 【题型六】分式函数单调性求参 11 【题型七】绝对值函数单调性求参 13 【题型八】构造函数求参 15 【题型九】参变分离求参 17 【题型十】类周期函数求参 19 【题型十一】”两个函数“相等”恒成立（存在）求参 21 【题型十二】应用单调性比大小 23 培优第一阶——基础过关练 24 培优第二阶——能力提升练 28 培优第三阶——培优拔尖练 33 综述： 单调性 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； 单调性经验型结论：（注意定义域是否有变化和限制） 【题型一】利用单调性定义求参 【典例分析】 已知函数在上有定义，且.若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，则可解出答案. 【详解】因为对任意给定的实数，恒有， 即成立，所以函数在上单调递减，又， 所以不等式等价于或，等价于或， 解得：，所以不等式的解集为.故答案为： 【提分秘籍】 定义法判断单调性 基本规律 （1）取值：设是该区间内的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 【变式训练】 1.已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得到答案. 【详解】解：由题意，在上单调递减. 则由可得，解得，即原不等式的解集为. 故选：B. 2.设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可. 【详解】∵函数是定义在上的减函数，且， ∴，解得. 故选：C 3.设奇函数定义在上，在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】奇函数定义在上，在上为增函数，且， ∴函数的关于原点对称，且在上也是增函数，过点， 所以可将函数的图像画出，大致如下： ∵， ∴不等式可化为，即，不等式的解集即为自变量与函数值异号的的范围，据图像可以知道．故选：． 【题型二】单调性与对称轴求参 【典例分析】 ．已知定义在上的函数满足，且，，都有，．若对，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抽象函数单调性和对称性的定义可得在上单调递增，在上单调递减且，由此可将恒成立的不等式化为或，分离变量后，根据函数最值可得的范围. 【详解】，，都有，在上单调递增； ，图象关于对称，在上单调递减； ，； 由知：或， 或，或， ，或，即的取值范围为. 故选：D. 【提分秘籍】 基本规律 对称性的常用结论如下： （1） 若函数满足,则的一条对称轴为 （2） 若函数满足,则的一条对称轴为 （3） 若函数满足,则的一条对称轴为， (4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称； 【变式训练】 1.已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（　　） A． B． 【答案】A 【分析】先证明出在[1，+∞）上为减函数，把转化为，即可解得. 【详解】因为函数满足（x∈R），则函数的图像关于直线x＝1对称， 又由对任意的时，恒有成立， 所以任取，有，所以， 所以在[1，+∞）上为减函数. 又由2a2+a+2＝2（a）21，2a2﹣2a+4＝2（a）21， 若，则有， 解得：，即a的取值范围为.故选：A． 2.已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为__________． 【答案】## 【分析】根据函数的对称性及单调性之间的关系即可求解. 【详解】由题意，因为函数对任意的均有， 所以可得函数的图象关于对称， 又由在上单调递减，则在上单调递增， 因为，可得， 则不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3.定义在上的函数满足，且在上单调递增，若当时恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】先根据已知条件分析的对称性以及单调性，然后根据对称性以