专题07 函数：高中常见函数的单调性与值域、最值-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题7 常见函数的单调性与值域、最值 目录 【题型一】单调性定义 1 【题型二】1：反比例函数 3 【题型三】2：一元二次函数 5 【题型四】3：分段函数 7 【题型五】4：“对勾”函数 8 【题型六】5：“双刀”函数（双曲函数） 10 【题型七】6：无理函数 12 【题型八】7：max与min函数 14 【题型九】8：“放大镜”函数 15 【题型十】9：取整函数（高斯函数） 17 培优第一阶——基础过关练 19 培优第二阶——能力提升练 22 培优第三阶——培优拔尖练 25 【题型一】单调性定义 【典例分析】 下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为，若，当时，，则函数是上的减函数 B．函数的定义域为，若，当时，，则函数不是上的增函数 C．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在上是增函数 D．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在上是增函数 【答案】C 【分析】根据函数单调性定义知AB正确，举出反例知C错误，D选项两区间有重合部分，正确，得到答案. 【详解】由减函数的定义，知A说法正确； 对于B，，当时，，所以不是上的增函数，B说法正确； 对于C，若，则在[0，1]和（1，2]上均是增函数，但在[0，2]上不是增函数，C说法错误； 对比C选项，D选项两区间有重合部分，正确. 故选：C． 【提分秘籍】 基本规律 单调性的运算关系： ①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； (2) 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 ． 【变式训练】 1.若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可． 【详解】解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确. 若，则，故选项C不正确. 故选：C. 2.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 【答案】C 【解析】根据函数的单调性定义及性质，可判断选项A，B，D选项正确，选项C可结合具体函数说明其不正确. 【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变， 选项A,B正确； 选项D: 为增函数，则为减函数，为减函数，为减函数，选项D正确； 选选C:若为增函数，为减函数，则的增减性不确定. 例如为上的增函数，当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数，故不能确定的单调性.故选:C 3.下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意，，且都有，可知函数在上单调递减，结合选项即可判断． 【详解】“对任意，，且都有”， 函数在上单调递减， 结合选项可知， A ：在单调递增，不符合题意， B：在单调递增，不符合题意， C：在单调递增，不符合题意， D：在单调递减，符合题意. 故选：D． 【题型二】1：反比例函数 【典例分析】 ，，则取得最大值时的x值为______． 【答案】45 【分析】先对函数变形，判断函数的单调性，从而可求出函数的最值 【详解】， 此函数是由反比例函数向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的， 所以在和上单调递减， 因为，， 所以取得最大值时的x值为45． 故答案为：45 【提分秘籍】 基本规律 反比例函数分式函数求值域： 1.若分子与分母同次用：分离常数法， 2.若分子与分母不同次用：上下同除法 【变式训练】 1.关于函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数只有最大值没有最小值 B．若，则函数只有最小值没有最大值 C．若，则函数有最大值没有最小值 D．若，则函数有最小值也有最大值 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质求出函数的最值即可. 【详解】函数的定义域为， ， 由反比例函数的性质，得在单调递减，此时； 在单调递减，此时； 若，则在上取到，所以， 同理，在上取到，所以， 所以当，函数有最大值和最小值.故选：D 2.已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．无最大值，最小值 【答案】A 【分析】先化简函数，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法 【详解】因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大