3.1 勾股定理-2022-2023学年八年级数学上册教材同步知识点专题详解(苏科版)

3.1 勾股定理 3.1 勾股定理 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 勾股定理概念 3 二、典型题型 5 题型1 勾股树（数）问题 7 题型2 勾股定理与网格问题 9 题型3 勾股定理与弦图问题 9 三、难点题型 9 题型1 勾股定理与折叠问题 12 四、活学活用培优训练 29 一．基础知识点 知识点1 勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 例1 如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是3和4，则AB上的中线长为（    ） A．5 B．2.5 C．2.4 D．3 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得AB=5，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是3和4， ∴， ∴AB上的中线长为． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 例2 如图，在中，，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则______． 【答案】1 【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据BD=BC，即可求出AD的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D， ∴BD=BC=4， AD=AB-BD=5-4=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出BC长． 例3 在中，．已知，求a． 【答案】20 【分析】直接利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理可得：， 故． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握“直角三角形斜边长的平方等于两个直角边平方的和”． 二．典型题型 题型1 勾股树（数）问题 解题技巧：①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等 ③用含字母的代数式表示勾股数：（为正整数）； （，为正整数） 常见图形： 例1 下列数组中，是勾股数的是(   ) A．0.3、0.4、0.5 B．6a、8a、10a C．7、24、25 D．1.5、2、2.5 【答案】C 【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、0.3、0.4、0.5，三边都不是整数，不是勾股数，故不符合题意； B、6a、8a、10a，三边不一定是整数，不一定是勾股数，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，且都是正整数，是勾股数，故符合题意； D、1.5、2、2.5，三边不都是整数，不是勾股数，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．注意：三个数必须是正整数． 例2 如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，若最大的正方形E的边长为10，则正方形ABCD的面积之和为______． 【答案】100 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形，，，的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图： 根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，，于是， 即． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够发现正方形，，，的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，解题的关键是根据勾股定理最终能够证明正方形，，，的面积和即是最大正方形的面积． 例3 已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)24 【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3； （2）根据（1）中的求解即可得出答案； （3）利用（2）中的结论进行求解． （1） 解：①， 根据勾股定理可知：， ； （2） 解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得； （3） 解：由（2）知． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用． 题型2 勾股定理与网格