11.1.1三角形的边（C层培优）

11.1.1三角形的边（C层培优） null 建议用时：15分钟 1．（1）已知三角形的三边长，，都是整数，并且，，则这样的三角形共有多少个. （2）已知三角形的三边长，，是三个连续的自然数，三角形的周长小于19，则这样的三角形有多少个. （3）已知三角形三边长，，都是整数，并且，，则这样的三角形有多少个. 【答案】（1）满足条件的三角形共有21个;（2）这样的三角形有4个;（3）共有19个三角形. 【分析】 （1）根据第二长边为7且三边长均为整数，可知a边长为1至7的整数，利用三边关系分类讨论a取各值，b取7时最长边能取得的值，进而得到三角形的个数即可． （2）由三边长为三个连续的自然数可设得边长分比为a，a+1，a+2，利用三边关系可列得关于a的第一个不等式；又周长小于19，可将将三边长加起来列得第二个不等式，联立两个不等式求解，同时满足a为自然数，可求得三角形的个数. （3）由得.又根据三边关系，故， 即，所以.根据为整数，故.利用c取得不同边长进行分类讨论，当时，有，求得，故b=10，时，有1个三角形，同理当时，分别有2,4,5,7个三角形，故共有个三角形. 【详解】 （1）∵且为整数， ∴可能为1,2,3,4,5,6,7. 当，时，，即，不满足，故舍去. 当，时，，即或7或8， 又∵，故. … 依次讨论，满足条件的三角形共有21个. （2）设三角形的三边分别为，，，则，故. 又，故. 又为自然数，所以.故这样的三角形有4个. （3）因为，所以. 又，所以， 故，所以. 又为整数，故. 当时，有 ∴， ∴，，有1个三角形. 当时，有 ∴， ∴或有2个三角形. 同理当时，分别有4,5,7个三角形，故共有个三角形. 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系灵活应用，解本题的关键是合理通过题中给出的或隐藏的已知边来进行分类讨论. 2．阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？ （1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…… （2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表 点的个数 可作出直线条数 2 1= 3 3= 4 6= 5 10= …… ……